[論文レビュー] Common fixed point theorems for pairs of subcompatible maps

Hakima Bouhadjera, Christiane Godet-Thobie|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用数 46

ひとこと要約

本稿では、固定点理論における既存の適合性および連続性条件のより弱い代替案として、部分適合性（subcompatibility）と逐次連続性（subsequential continuity）の概念を導入する。本稿は、距離空間における4つの写像について、JungckとRhoadesの先行研究を改善し、Greguš、Pathakらの研究を一般化する新しい共通固定点定理を確立する。応用として、一般化された収縮条件の下での写像の対および写像列の共通固定点についても検討する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the new concepts of subcompatibility and subsequential continuity which are respectively weaker than occasionally weak compatibilty and reciprocal continuity. With them, we establish several common fixed point theorems which extend corresponding results of Jungck and Rhoades (2006), Djoudi and Nisse (2003) and Mbarki (2002).

研究の動機と目的

• 既存の適合性および連続性の概念に対するより弱い代替概念として、部分適合写像（subcompatible maps）および逐次連続写像（subsequentially continuous maps）の新概念を導入し、形式化すること。
• 適合性および時々弱く適合する写像（occasionally weakly compatible maps）を含む最近の固定点定理を、これらの新条件を用いて拡張・改善すること。
• Greguš、DjoudiとNisse、Pathakらの既存の結果を、部分適合性および逐次連続性の下で新たな共通固定点定理を確立することにより一般化すること。
• 複数の写像に関する共通固定点定理の既存の結果を統合・強化する統一的枠組みを提供すること。
• 一般化された収縮条件の下で、写像列への理論の拡張を行い、h, k, および {f_n} の共通固定点の存在および一意性を証明すること。

提案手法

• 部分適合写像を、ある点列が共通の極限点に収束する際に、fgx_n と gfx_n の距離が0に収束するような写像のペアとして定義する。
• 逐次連続性を、gx_n が t に収束するとき、f(gx_n) の極限が f(t) に一致するというより弱い形の連続性として導入する。
• すべての t > 0 に対して a(t) + b(t) < 1 を満たす関数 a, b: [0,∞) → [0,1) と、Φ(t) = 0 であるのは t = 0 のときに限る関数 Φ: [0,∞) → [0,∞) のクラスを用いる。
• 一般化された収縮不等式を確立する：すべての x, y に対して、Φ(d(fx, gy)) ≤ a(d(hx, ky))Φ(d(hx, ky)) + b(d(hx, ky)) × min{Φ(d(hx, gy)), Φ(d(ky, fx))} が成り立つ。
• 収縮条件を部分適合性および逐次連続性と組み合わせ、矛盾に基づく証明を用いて固定点の一意性を導出する。
• 再帰的および極限の議論を用いて、結果を写像列 {f_n} に拡張し、h, k, および {f_n} が同じ条件下で一意な共通固定点を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通固定点定理における適合性および連続性の条件を、共通固定点の存在を保ちつつ弱めることが可能か？
• RQ2 新概念の部分適合性および逐次連続性は、時々弱く適合する写像や相互に連続な写像といった既存の概念とどのように比較されるか？
• RQ3 Φ, a, b を含む一般化された収縮条件を、これまで知られていたよりも弱い仮定の下で共通固定点を導出するために用いることができるか？
• RQ4 2つまたは4つの写像に限らない、同様の条件下での無限個の写像列への結果の拡張はどの程度可能か？
• RQ5 提案された条件下で共通固定点は一意的か？また、Φ, a, b の性質を用いた矛盾による証明でこれを示せるか？

主な発見

• 反例により、部分適合性は、時々弱く適合する写像（owc）よりも厳密に弱い条件であることが示された。
• 本稿は、部分適合性および逐次連続性の下で4つの写像に関する新しい共通固定点定理を証明し、JungckとRhoadesの結果を改善している。
• Φ, a, b を含む一般化された収縮条件により、d(t,z) = 0 が導かれ、t = z となる。これにより、一意な共通固定点の存在が証明される。
• 矛盾による議論により、d(ft,t) > 0 と仮定すると、Φ(d(ft,t)) < Φ(d(ft,t)) が導かれ、これは不可能である。よって ft = t が示される。
• 別の固定点 w ≠ t を仮定し、同様の不等式を用いて矛盾を導くことで、共通固定点の一意性が確立される。
• 結果は写像列 f_n, h, k に拡張され、同じ条件下で、すべての写像が一意な共通固定点を持つことが証明された。