[論文レビュー] Common hypercyclic functions for translation operators with large gaps II

Nikos Tsirivas|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、無限大に発散する複素数列 $ \lambda_n $ で、特定のギャップおよび発散条件を満たすものについて、非可算個の平行移動作用素 $ T_{\lambda_n a} $ の共通超巡回ベクトルである整関数の存在を確立する。主な結果は、このような列に対して、単位円上の方向に沿った平行移動が整関数空間において稠密である関数の集合が残渣的（residual）であることを示しており、従来の共通超巡回性に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove the existence of common hypercyclic entire functions for uncountable families of translation type operators. Contrary to our previous work [34], here the parameter which reflects the uncountable family lies on the unit circle. On the other hand the sequence of translations is in a sense less restrictive if it is to be compared with the corresponding sequence in [34]. Our result largely extends a result of Costakis in [19].

研究の動機と目的

• 整関数空間上の非可算個の平行移動作用素族に対する共通超巡回ベクトル理論を拡張すること。
• すべての作用素 $ T_{\lambda_n a} $（$ |a| = 1 $）に対して超巡回である整関数の存在を保証する $ (\lambda_n) $ の条件を同定すること。
• 文献[19]の定理2.2を一般化し、$ \sum 1/|\mu_n| $ の要求される発散条件を、重み付き尾和のlimsup条件に緩和すること。
• このような共通超巡回関数の集合が、局所一様収束位相における $ \mathcal{H}(\mathbb{C}) $ で残渣的（つまり一般的）であることを示すこと。

提案手法

• 列 $ (\lambda_n) $ に対して新たな条件 (C) を導入：任意の $ M > 0 $ に対して、$ |\mu_{n+1}| - |\mu_n| > M $ かつ $ \limsup_{n \to \infty} \left( |\mu_n| \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{|\mu_k|} \right) = \infty $ を満たす部分列 $ (\mu_n) $ が存在すること。
• バナッハのカテゴリ定理を用いて、共通超巡回ベクトルの集合が $ G_\delta $ かつ $ \mathcal{H}(\mathbb{C}) $ で稠密であることを示し、したがって残渣的であることを証明する。
• コンパクト集合上で任意の整関数に一様に近似可能な、$ \lambda_n a $ 方向への平行移動を持つ関数の存在を用いた構成的アプローチを採用する。
• 逆数の大きさの尾和に関する推定を用いて、たとえば $ \lambda_n = (a_m + k)^2 $（$ a_m \to \infty $）のような特定の列に対して条件 (C) を検証する。
• 条件 (C) を満たすが、より強い発散条件 $ \sum 1/|\mu_n| = \infty $ を満たさない列 $ (\lambda_n) $ の構成により、拡張が非自明であることを示す。
• 条件 (C) のlimsup条件が、調和級数が緩やかに発散するか、条件的に発散する場合でさえ、共通超巡回性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 $ \sum 1/|\mu_n| = \infty $ を満たすものに限らず、共通超巡回整関数が存在する列 $ (\lambda_n) $ のクラスを拡張できるか？
• RQ2 すべての $ T_{\lambda_n a} $（$ |a| = 1 $）に対して共通超巡回ベクトルの存在を保証するための、$ \sum 1/|\mu_n| = \infty $ よりも弱い条件は存在するか？
• RQ3 非可算個の平行移動作用素族に対する超巡回性を保証するために、ギャップ条件 $ |\mu_{n+1}| - |\mu_n| > M $ が果たす役割は何か？
• RQ4 列 $ (\lambda_n) $ が急激に増加し、大きなギャップを有する場合であっても、このような作用素族の共通超巡回ベクトル集合が残渣的であることを示せるか？

主な発見

• 任意の非ゼロ複素数列 $ (\lambda_n) $ で、$ |\lambda_n| \to \infty $ かつ条件 (C) を満たすものに対して、任意の $ r > 0 $ に対して、$ \bigcap_{a \in C_r} HC(\{T_{\lambda_n a}\}) $ は $ \mathcal{H}(\mathbb{C}) $ で残渣的である。
• 文献[19]の定理2.2を拡張しており、$ \sum 1/|\mu_n| = \infty $ を要求する代わりに、条件 (C) のより弱いlimsup条件を用いている。
• 本稿では、条件 (C) を満たすが $ \sum 1/|\mu_n| = \infty $ を満たさない列 $ (\lambda_n) $ の明示的例を構成し、条件が厳密に弱いかどうかを示している。
• 構成された列に対して $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\lambda_n} < \infty $ が成り立つことが示され、調和級数条件が成立しないにもかかわらず共通超巡回性が成立することを示している。
• この設定において、$ \limsup_{n \to \infty} \left( |\mu_n| \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{|\mu_k|} \right) = \infty $ というlimsup条件は、共通超巡回ベクトルの存在にとって必要かつ十分である。
• 証明により、共通超巡回関数の集合が空でないだけでなく、$ G_\delta $ かつ稠密であることが示され、したがってバナッハのカテゴリ的意味で一般的であることが保証される。