[论文解读] Commutative and non-commutative bialgebras of quasi-posets and applications to Ehrhart polynomials

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过拟偏序集上的交换与非交换双代数结构，利用霍普夫代数方法研究了Ehrhart多项式。它利用相互作用的双代数建立了Ehrhart多项式的对偶性原理，提供了对偶性定律的代数证明，并推广了Faulhaber公式以及B级数的相关结果，通过打包字词引入了非交换版本，并提出了新的非交换对偶性原理。

ABSTRACT

To any poset or quasi-poset is attached a lattice polytope, whose Ehrhart polynomial we study from a Hopf-algebraic point of view. We use for this two interacting bialgebras on quasi-posets. The Ehrhart polynomial defines a Hopf algebra morphism taking its values in Q[X], we deduce from the interacting bialgebras an algebraic proof of the duality principle, a generalization and a new proof of a result on B-series due to Whright and Zhao, using a monoid of characters on quasi-posets, and a generalization of Faulhaber's formula. We also give non-commutative versions of these results: polynomials are replaced by packed words. We obtain in particular a non-commutative duality principle.

研究动机与目标

• 通过拟偏序集建立研究格点多面体Ehrhart多项式的霍普夫代数框架。
• 利用拟偏序集上的相互作用双代数建立Ehrhart多项式的对偶性原理。
• 通过拟偏序集上的特征及其幺半群结构，推广B级数与Faulhaber公式的结果。
• 通过打包字词扩展理论至非交换情形，并定义非交换对偶性原理。

提出的方法

• 利用两种不同的余乘法构造拟偏序集上的两个相互作用的双代数：一种基于对下集的限制，另一种基于区间分解。
• 通过Ehrhart多项式定义从拟偏序集双代数到ℚ[X]的霍普夫代数同态，编码缩放多面体中整数点的数量。
• 引入拟偏序集上特征的幺半群以分析Ehrhart多项式，并代数化地证明对偶性原理。
• 利用WQSym霍普夫代数中打包字词的结构，定义Ehrhart多项式的非交换类比及其对偶性。
• 通过对合Φ−1建立非交换对偶性原理，证明Φ−1(x↓y) = Φ−1(x)⊲⊳Φ−1(y) 且反之亦然。
• 证明在偏序集上，Ehrhart映射的像是整个WQSym代数，表明其满射性并兼容非交换对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ehrhart多项式如何被解释为从拟偏序集双代数到ℚ[X]的霍普夫代数同态？
• RQ2 Ehrhart多项式对偶性原理的代数根源是什么？能否利用双代数结构加以证明？
• RQ3 Wright与Zhao关于B级数的结果能否通过拟偏序集上的特征代数化地推广并重新证明？
• RQ4 Ehrhart多项式的非交换类比是什么？在这种情形下对偶性如何体现？
• RQ5 从偏序集的霍普夫代数到WQSym的Ehrhart映射是否是满射？这对像的结构意味着什么？

主要发现

• Ehrhart多项式定义了从拟偏序集双代数到ℚ[X]的霍普夫代数同态，使得其性质能够进行代数分析。
• 通过拟偏序集上特征的幺半群与相互作用双代数的结构，代数化地证明了Ehrhart多项式的对偶性原理。
• 由特征α及其与zeta函数的关系，推导出Faulhaber公式的推广，其中涉及伯努利数。
• 非交换对偶性原理成立：Φ−1(x↓y) = Φ−1(x)⊲⊳Φ−1(y) 且 Φ−1(x⊲⊳y) = Φ−1(x)↓Φ−1(y)，其中Φ−1是WQSym上的对合。
• 当限制在偏序集上时，Ehrhart映射EHR及其严格版本EHR^{str}在霍普夫代数WQSym上是满射，表明WQSym是偏序集上Ehrhart构造的像。
• WQSym中打包字词的结构为Ehrhart多项式提供了非交换推广，且偏序集上的Ehrhart映射实现了完整的WQSym代数。