[論文レビュー] Commutator Representations of Covariant Differential Calculi on Quantum Groups

Konrad Schmuedgen|arXiv (Cornell University)|May 30, 2001

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間上の非有界作用素を用いて、量子群上の共変微分計算の交換子表現を導入する。左共変および特定の双共変計算が、$SL_q(n+1)$、$O_q(n)$、$Sp_q(2n)$ などのコンパクト量子群に対して、実数の超越的 $q$ を持つ場合、交叉積代数 ${\mathcal{A}} \rtimes {\mathcal{A}}^\circ$ を介して忠実な交換子表現を有することを確立し、非可換幾何学と量子群微分構造との間の関係を結ぶ。

ABSTRACT

Let (G,d) be a first order differential *-calculus on a *-algebra A. We say that a pair (π,F) of a *-representation πof A on a dense domain D of a Hilbert space and a symmetric operator F on D gives a commutator representation of G if there exists a linear mapping t:G -> L(D) such that t(adb)=π(a)i[F,π(b)], a,b in A. Among others, it is shown that each left-covariant *-calculus G of a compact quantum group Hopf *-algebra A has a faithful commutator representation. For a class of bicovariant *-calculi on A there is a commutator representation such that F is the image of a central element of the quantum tangent space. If A is the Hopf *-algebra of the compact form of one of the quantum groups SL_q(n+1), O_q(n), Sp_q(2n) with real transcendental q, then this commutator representation is faithful. Keywords: Quantum Groups; Noncommuative Geometry; Differential Calculus

研究の動機と目的

• 量子群上の共変微分計算とアラン・コンヌの非可換幾何学フレームワークとの間のギャップを埋めること。
• *-代数上の一次微分*-計算の交換子表現を体系的に構成するための方法を開発すること。
• 特にコンパクト量子群上の双共変計算に対して、その表現の忠実性条件を確立すること。
• 交叉積代数 ${\mathcal{A}} \rtimes {\mathcal{A}}^\circ$ のハイゼンベルク表現が忠実な交換子表現をもたらすことを示すこと。
• $SL_q(n+1)$、$O_q(n)$、$Sp_q(2n)$ などの特定の量子群に対して、明示的な構成を提供すること、ここで $q$ は実数の超越的数である。

提案手法

• ヒルベルト空間の稠密な定義域 $\mathcal{D}$ 上の対称作用素 $F$ と、*-代数 ${\mathcal{A}}$ の *-表現 $\pi$ を用いて、交換子表現を定義する。$\tau(adb) = \pi(a)i[F,\pi(b)]$ を満たす線形写像 $\tau: \Gamma \to L(\mathcal{D})$ である。
• ホップ双対 ${\mathcal{A}}^\circ$ を利用して、交叉積代数 ${\mathcal{A}} \rtimes {\mathcal{A}}^\circ$ を用いて代数的交換子表現を構成する。
• 交叉積代数 ${\mathcal{A}} \rtimes {\mathcal{A}}^\circ$ のハイゼンベルク表現を用いて、代数的表現をヒルベルト空間表現に持ち上げる。
• ${\mathcal{A}}^\circ$ 内の中心的要素と量子接空間を用いて、$F$ が中心的要素の像であるような表現を構成する。
• 特定の量子群に対して、実数の超越的 $q$ を持つ場合に $\tau$ の単射性を示すことにより忠実性を検証する。
• 極分解と重み付きシフト構造を用いたフォック型ヒルベルト空間上の作用素を用いて、明示的な例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群上の共変微分計算は、ヒルベルト空間表現における非有界交換子によって表現可能か？
• RQ2 コンパクト量子群代数上の左共変 *-計算が、忠実な交換子表現を有するための条件は何か？
• RQ3 $SL_q(n+1)$、$O_q(n)$、$Sp_q(2n)$ 上の双共変計算は、量子接空間からの単一の中心的要素を用いて忠実に表現可能か？
• RQ4 交叉積代数 ${\mathcal{A}} \rtimes {\mathcal{A}}^\circ$ は、交換子表現の構成をどのように支援するか？
• RQ5 超越的パrameter $q$ は、交換子表現の忠実性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• コンパクト量子群ホップ *-代数 ${\mathcal{A}}$ 上の各左共変 *-計算は、忠実な代数的交換子表現を有する。
• コクアストリガニタルホップ *-代数上の特定の双共変 *-計算のクラスに対しては、$F$ が ${\mathcal{A}}^\circ$ 内の中心的要素の像であるような代数的交換子表現が存在する。
• ${\mathcal{A}} = {\mathcal{O}}(G_q)$ で $G_q = SL_q(n+1), O_q(n), Sp_q(2n)$ かつ実数の超越的 $q$ の場合、交換子表現は忠実である。
• 交叉積 *-代数 ${\mathcal{A}} \rtimes {\mathcal{A}}^\circ$ のハイゼンベルク表現は、左共変 *-計算に対して忠実なヒルベルト空間交換子表現をもたらす。
• 極分解と重み付きシフト作用素を用いたフォック型ヒルベルト空間上での交換子表現の明示的構成が提供される。
• 表現が忠実であるのは $\tau$ が単射であるときであり、これは指定された量子群と超越的 $q$ を持つ場合に成り立つ。