[論文レビュー] Compact Homogeneous Locally Conformally Kaehler Manifolds

Keizo Hasegawa, Yoshinobu Kamishima|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな同調的局所的に共形的ケーラー（l.c.K.）多様体について、2つの基本的構造定理を確立する。まず、それらが旗多様体上に1次元複素トーラスをファイバーとする正則な主バンドルであるということ。第二に、それらは必然的にバイスマン型である、つまりリー形式がヘルミート計量に関して平行であるということ。結果として、再帰的リー群上のl.c.K.構造が分類され、同調的型のホープフ多様体のみがコンパクトな複素同調的l.c.K.構造を許容する。複素平行化可能多様体にはこのような構造は存在しない。

ABSTRACT

In this paper we show as main results two structure theorems of a compact homogeneous locally conformally Kaehler (or shortly l.c.K.) manifold, a holomorphic structure theorem asserting that it has a structure of holomorphic principal fiber bundle over a flag manifold with fiber a 1-dimensional complex torus, and a metric structure theorem asserting that it is necessarily of Vaisman type. We also discuss and determine l.c.K. reductive Lie groups and compact locally homogeneous l.c.K. manifolds of reductive Lie groups.

研究の動機と目的

• 正則的および計量的構造定理を用いて、コンパクトな同調的局所的に共形的ケーラー（l.c.K.）多様体を分類する。
• このような多様体が必然的にバイスマン型である、すなわちリー形式がヘルミート計量に関して平行であることを確立する。
• 再帰的リー群上のl.c.K.再帰的リー群を特定し、再帰的リー群のコンパクトな局所同調的l.c.K.多様体を同定する。
• コンパクトな複素同調的l.c.K.多様体の存在を調査し、特に複素平行化可能多様体がそのような構造を許容しないことを示す。
• コンパクトリー代数上のl.c.K.構造を分類し、次元 dim t = 1 かつランク rank s = 1 の場合にのみ存在することを示す。

提案手法

• 本稿は、リー代数 𝔤 = 𝔟 + 𝔰 の分解（𝔟 は中心、𝔰 は半単純部分）を用いて、コンパクトな同調的l.c.K.多様体の構造を分析する。
• ホッチ・セルレスペクトル系列を適用することで、l.c.K.形式を Ω = −θ ∧ ψ + dψ と表現する。ここで θ はリー形式、ψ は1次形式である。
• リー形式 ξ に対応するリーブ場 η = Jξ と関連するリーブ1形式 φ を用い、Jt-不変性のもとで ψ = φ かつ Ω = −θ ∧ φ + dφ であることを示す。
• Jt によって生成されるコンパクト部分群 K 上での平均化法を用い、Ad(K)-不変なl.c.K.形式を構成し、複素構造を保つ。
• dim 𝔟 = 1 および rank 𝔰 = 1 の場合に制限することで、再帰的リー代数上のすべての可能なl.c.K.構造を分類し、𝔲(2) および ℝ ⊕ 𝔰𝔩(2,ℝ) が唯一の可能性であることを特定する。
• 𝔲(2) および ℝ ⊕ 𝔰𝔩(2,ℝ) 上のl.c.K.構造の明示的構成を与え、S¹ × S³ 上の例と、ℝ × SL(2,ℝ) 上の非バイスマン型構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな同調的l.c.K.多様体は、旗多様体上への正則なファイバー・バンドル構造によって分類可能か？
• RQ2 すべてのコンパクトな同調的l.c.K.多様体は、必然的にバイスマン型であるか。すなわち、リー形式がヘルミート計量に関して平行であるか？
• RQ3 再帰的リー代数が同調的l.c.K.構造を許容するための必要十分条件は何か？
• RQ4 どのコンパクトリー群または同調的空間がコンパクトな複素同調的l.c.K.構造を許容するか？
• RQ5 非コンパクトな再帰的リー群の局所同調的多様体上に、非バイスマン型l.c.K.構造が存在するか？

主な発見

• コンパクトな同調的l.c.K.多様体は、1次元複素トーラスをファイバーとする正則な主バンドルであり、旗多様体上に構造を持つ。
• すべてのコンパクトな同調的l.c.K.多様体はバイスマン型である。つまり、リー形式はヘルミート計量に関して平行である。
• コンパクトな複素同調的l.c.K.構造を許容するのは、同調的型のホープフ多様体に限られ、複素平行化可能多様体にはそのような構造は存在しない。
• 再帰的リー代数上のl.c.K.構造は、dim 𝔟 = 1 かつ rank 𝔰 = 1 の場合にのみ存在し、その例は 𝔲(2) および ℝ ⊕ 𝔰𝔩(2,ℝ) に限られる。
• 非バイスマン型l.c.K.構造は、非コンパクトな再帰的リー群の局所同調的多様体上に存在し、例として ℝ × SL(2,ℝ) が挙げられ、明示的な構成が与えられている。
• 局所同調的l.c.K.多様体は、離散部分群 Γ ⊂ Ĝ = ℝ × U(2) に対して Γ\backslashĜ/H の形で構成可能であり、双正則同値によりホープフ多様体 S_{p,q} が得られる。