[論文レビュー] Compactification of the moduli spaces of vortices and coupled vortices

Gang Tian, Baozhong Yang|ArXiv.org|Mar 8, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特異的結合バイポールの概念を導入することで、コンpact Kähler多様体上のHermitianベクトル bundle 上のバイポールおよび結合バイポールのモジュライ空間の解析的コンパクト化を確立する。次元削減によるHermitian-Yang-Mills接続と除去可能特異性定理を適用することで、極限における特異性が孤立しており、それらが反射的層と正則ベクトル bundle の拡張によって解消可能であることが示され、有限余次元の特異的集合上に滑らかにコンパクト化が達成される。

ABSTRACT

Vortices and coupled vortices arise from Yang-Mills-Higgs theories and can be viewed as generalizations or analogues to Yang-Mills connections and, in particular, Hermitian-Yang-Mills connections. We proved an analytic compactification of the moduli spaces of vortices and coupled vortices on hermitian vector bundles over compact Kähler manifolds. In doing so we introduced the concept of ideal coupled vortices and characterized the singularities of ideal coupled vortices as well as Hermitian-Yang-Mills connections.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体上のHermitianベクトル bundle 上のバイポールおよび結合バイポールのモジュライ空間のコンパクト化を構成すること。
• 滑らかな解のモジュライ空間の自然なコンパクト化として、理想結合バイポールを定義し、その特徴づけを行うこと。
• 特異的集合の余次元が有限であることを示し、H^{n-4} Hausdorff測度が有限であることを証明することで、極限における特異性を解消すること。
• コンパクト化されたモジュライ空間が、滑らかなHermitian-Einstein計量を持つ反射的層に対応することを確立し、Donaldson-Uhlenbeck-Yau対応を一般化すること。
• M × ℂP¹ 上のHermitian-Yang-Mills接続の次元削減を用い、結合バイポール解を高次元HYM接続に関連づけ、[20]および[8]のコンパクト性結果を適用すること。

提案手法

• H^{n-4} 測度が有限な閉特異的集合 S を除いて滑らかであるような、理想結合 τ-バイポールの概念を導入する。
• García-Prada が確立した、M 上の結合バイポール方程式と M × ℂP¹ 上のHermitian-Yang-Mills方程式との間の、SU(2)作用による次元削減対応を用いる。
• Uhlenbeck および Taubes のコンパクト性定理と、Hermitian-Einstein計量に関する除去可能特異性定理を適用し、結合バイポール列の極限を分析する。
• 特異的集合 S が H^{n-4} Hausdorff 測度に関して有限であり、正則構造が反射的層として S を越えて一意に拡張可能であることを証明する。
• Bando および Siu の定理を用いて、計量が滑らかでかつHermitian-Einsteinであれば、反射的層が特異的集合を越えて正則ベクトル bundle に拡張可能であることを示す。
• 上昇したHYM接続のSU(2)-不変性を活用し、M 上の拡張された正則ベクトル bundle が局所的に自由であることを導き、コンパクト化されたモジュライ空間が滑らかであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトKähler多様体上の結合バイポールのモジュライ空間は、解析的にコンパクト化可能か。そのコンパクト化にはどのような構造が備わるか。
• RQ2 結合バイポール解列の極限において生じる特異性の性質は何か。それらは解消可能か。
• RQ3 理想結合バイポールは、元のバイポール解およびその背後にあるKähler多様体の幾何学とどのように関係するか。
• RQ4 極限対象の特異性は、モジュライ空間における滑らかさの欠如とどの程度対応するか。
• RQ5 M × ℂP¹ 上のHermitian-Yang-Mills接続の次元削減は、バイポールモジュライ空間のコンパクト化を特徴づけるために用いられるか。

主な発見

• 結合バイポールのモジュライ空間は、特異的集合が H^{n-4} Hausdorff 測度に関して有限であるような理想結合バイポールの概念によって自然に解析的にコンパクト化可能である。
• バイポール列の極限における特異性は孤立しており、ゲージ変換によって解消可能であり、特異的集合を越えて正則構造が滑らかに拡張可能である。
• 元のバンドルを拡張する反射的層は実際に局所的に自由であるため、コンパクト化されたモジュライ空間は滑らかな正則ベクトルバンドルとHermitian-Einstein計量から成る。
• バイポール問題を M × ℂP¹ に上昇させ、Hermitian-Yang-Mills接続に関する結果を適用することで、コンパクト化が達成され、極限対象が滑らかで非可約であることが保証される。
• 特異的集合を越えて正則構造が一意に拡張可能であり、反射的拡張の一意性から、結果として得られるバンドルは任意の特異的点の近傍で自明である。
• 上昇したHYM接続のSU(2)-不変性により、拡張されたバンドル上の計量は元のバンドルに対応する成分に分解され、極限において結合バイポール構造が保存される。