[论文解读] Compactifications of the universal Jacobian over curves with marked points

Margarida Melo|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 9

一句话总结

本论文通过使用关于固定向量丛满足稳定性条件的无挠秩-1层，构建了带标记点的稳定曲线模堆栈上全局限约从丛的模堆栈的模块化紧化。关键贡献在于构造了一族具有投影粗模空间的德林-穆默福德、不可约、光滑的紧化全局限约从丛，其允许遗忘映射和缝合态射，并从稳定曲线的模堆栈中提升出截面。

ABSTRACT

We construct modular compactifications of the universal Jacobian stack over the moduli stack of reduced curves with marked points depending on stability parameters obtained out of fixing a vector bundle on the universal curve. When restricted to the locus of stable marked curves, our compactifications are Deligne-Mumford irreducible smooth stacks endowed with projective moduli spaces and, following Esteves approach to the construction of fine compactifications of Jacobians, they parametrize torsion-free rank-1 simple sheaves satisfying a stability condition with respect to the fixed vector bundle. We also study a number of properties of our compactifications as the existence of forgetful and clutching morphisms and as well of sections from the moduli stack of stable curves with marked points. We conclude by indicating a number of different possible applications for our constructions.

研究动机与目标

• 构建带标记点的稳定曲线模堆栈上全局限约从丛堆栈的恰当模块化紧化。
• 克服先前构造的局限性，例如非德林-穆默福德堆栈以及缺乏如截面和缝合态射等几何结构。
• 将埃斯特斯对雅可比簇精细紧化的推广方法扩展至带标记点的全局限约设置。
• 为研究紧化全局限约从丛上的典型类和几何不变量提供一个框架。
• 通过层上的稳定性条件，建立紧化全局限约从丛的模块化描述。

提出的方法

• 使用在全局限约曲线上固定的向量丛来定义无挠秩-1层的稳定性条件。
• 在带标记点的约化曲线模堆栈上构造简单层的堆栈，通过赋值准则确保其表示性和恰当性。
• 将埃斯特斯的精细紧化方法应用于全局限约从丛设置，确保所得堆栈为德林-穆默福德且光滑。
• 建立从紧化全局限约从丛到稳定曲线模堆栈的遗忘态射。
• 构造缝合态射，实现对具有节点的曲线的紧化雅可比丛的拼接。
• 证明从稳定曲线模堆栈到紧化全局限约从丛堆栈的截面存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以模块化且几何上有意义的方式紧化带标记点的稳定曲线模堆栈上的全局限约从丛？
• RQ2 如何将秩-1层的稳定性条件扩展至带标记点的奇异曲线族？
• RQ3 在这样的紧化中，哪些几何结构——如截面、遗忘映射和缝合态射——可以被保留？
• RQ4 在保持德林-穆默福德性质的同时，能否使紧化全局限约从丛具有投影粗模空间？
• RQ5 固定向量丛的选择如何影响所得紧化及其模解释？

主要发现

• 在带标记点的约化曲线模堆栈上，简单层的堆栈是代数的，并满足恰当性赋值准则的存在部分。
• 当限制在稳定曲线上时，紧化全局限约从丛是德林-穆默福德、不可约、光滑的堆栈，且具有投影粗模空间。
• 紧化全局限约从丛参数化在全局限约曲线上关于固定向量丛稳定的无挠秩-1简单层。
• 从紧化全局限约从丛到稳定曲线模堆栈的遗忘态射存在且行为良好。
• 可以构造缝合态射，使得紧化全局限约从丛能在具有节点的曲线上被拼接。
• 从稳定曲线模堆栈到紧化全局限约从丛堆栈的截面存在，为全局限约从丛提供了模块化的提升。