[論文レビュー] Compactly generated quasitopological homotopy groups with discontinuous multiplication

Paul Fabel|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の整数 $ Q \geq 1 $ に対して、コンパクトで、道で連結で、距離空間である $ X $ を構成し、その $ Q $-次ホモトピー群 $ \pi_Q(X,p) $ が商位相を入れたものとしてコンパクト生成であるが、乗法が不連続であるため、位相群でないことを示している。構成法は、収束する線分の列に付加された球面のワッペンであり、群の元を表す写像の非等長連続な列が、不連続性を引き起こす。

ABSTRACT

For each positive integer Q there exists a path connected metric compactum X such that the Qth-homotopy group of X is compactly generated but not a topological group (with the quotient topology).

研究の動機と目的

• X が道で連結なコンtinuumであり、$ \pi_Q(X,p) $ がコンパクト生成であるとき、$ \pi_Q(X,p) $ が常に位相群であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• コンパクト生成ホモトピー群が、商位相のもとで位相群でないことがある反例を提供すること。
• 標準的な群乗法が、群が擬位相群（逆元の連続性と乗法の分離連続性）であるにもかかわらず、連続でないことがあることを示すこと。
• ホモトピー群の位相が、$ Q \geq 2 $ であっても、$ \pi_Q(X,p) $ を位相群にしないために十分でないことが示され、ホモトピー論における構造的安定性に関する仮定に疑問を呈すること。

提案手法

• 線分の列 $ L_n \to L $ の収束列に、各 $ L_n $ の端点に $ Q $-次球面 $ S_n $ をワッペン接続し、基点 $ p $ でワッペンを形成する空間 $ X $ を構成する。
• 空間 $ M_Q(X,p) $（$ S^Q $ から $ X $ への基点付き写像の空間）にコンパクト開位相を入れ、その上での自然な全射 $ \Pi_Q: M_Q(X,p) \to \pi_Q(X,p) $ によって誘導される商位相を $ \pi_Q(X,p) $ に導入する。
• メトライズ可能な空間 $ M_Q(X,p) $ における逐次収束の議論を用いて、$ \pi_Q(X,p) $ における収束を分析し、逐次空間が収束列によって特徴づけられることを活用する。
• 長さが増加する既約語からなる部分集合 $ A \subset \pi_Q(X,p) $ を定義し、収束列における語長の有界性を用いて、それが閉集合であることを証明する。
• 乗法 $ \ast $ による $ A $ の逆像 $ \ast^{-1}(A) $ が $ G \times G $ で閉でないことを示し、$ (e,e) $ がその逆像に属さない極限点であることを示して、乗法の不連続性を証明する。
• 群の元を表す写像の非等長連続な列を用いて、語長が有界でない限り収束が成立しないと矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X が道で連結なコンティニュアムであり、$ \pi_Q(X,p) $ がコンパクト生成であるとき、任意の $ Q \geq 1 $ に対して $ \pi_Q(X,p) $ は常に位相群であるか？
• RQ2 $ Q \geq 2 $ であっても、コンパクト生成ホモトピー群 $ \pi_Q(X,p) $ が、商位相のもとで位相群でないことがあるか？
• RQ3 コンパクト距離空間 $ X $ に対して、$ \pi_Q(X,p) $ がコンパクト生成であり、$ X $ がコンパクトであるとき、標準的な群乗法が $ \pi_Q(X,p) $ で連続であるとは限らないか？
• RQ4 群の元を表す $ M_Q(X,p) $ 内の非等長連続な代表写像が、$ \pi_Q(X,p) $ の乗法の不連続性を引き起こすことがあるか？
• RQ5 任意の $ Q \geq 1 $ に対して、コンパクトで、道で連結で、距離空間である $ X $ が存在し、$ \pi_Q(X,p) $ がコンパクト生成であるが、乗法が不連続であるか？

主な発見

• 任意の $ Q \geq 1 $ に対して、コンパクトで、道で連結で、距離空間である $ X $ が存在し、$ \pi_Q(X,p) $ が商位相のもとでコンパクト生成である。
• 群乗法は、逆元の連続性と乗法の分離連続性が成り立つ擬位相群であるが、不連続である。
• 語長が増加する既約語からなる集合 $ A \subset \pi_Q(X,p) $ は、収束列における語長の有界性から、$ \pi_Q(X,p) $ で閉集合である。
• $ \pi_Q(X,p) \times \pi_Q(X,p) $ の部分集合 $ \ast^{-1}(A) $ は閉でない。なぜなら、$ (e,e) $ がその逆像に属さない極限点であるからであり、これにより乗法の不連続性が証明される。
• 構成法は、$ M_Q(X,p) $ 内の群の元を表す非等長連続な写像列に依存しており、語長が有界でなければ収束しないことから、語長が無限大に発散する場合に矛盾が生じる。
• 空間 $ X $ はペアノコンティニュアム（コンパクトで、局所的に道で連結で、距離空間）であり、$ \pi_Q(X,p) $ は逐次空間であるため、収束の議論が正当化される。