[論文レビュー] Compactness and Measures of Noncompactness in Metric Trees

Asuman Güven Aksoy, Matthew Strom Borman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、距離木において、非コンパクト性の集合測度 α(S) がボール測度 β(S) のちょうど2倍である、すなわち α(S) = 2β(S) であることを、2つの独立した証明により確立している。1つは幾何的被覆性質に基づくもので、もう1つはリフシッツ特徴量に基づくものである。主な貢献は、距離木において k-集合収縮的および k-ボール収縮的作用素が一致することを示したことにより、この設定における2つの収縮写像のクラスを統合したことにある。

ABSTRACT

A metric tree ($M$, $d$), also known as $\mathbb{R}$-trees or $T$-theory, is a metric space such that between any two points there is an unique arc and that arc is isometric to an interval in $\mathbb{R}$. In this paper after presenting some fundamental properties of metric trees and metric segments, we will give a characterization of compact metric trees in terms of metric segments. Two common measures of noncompactness are the ball and set measures, respectively defined as \[ β(S) = \inf \{ε\mid S {has a finite} ε{-net in} M\} {and} \] \[ α(S) = \inf\{ε\mid S {has a finite cover of sets of diameter} \leq ε\}. \] We will prove that $α= 2β$ for all metric trees. We give two independent proofs of this result, first of which depends on the fact that given a metric tree $M$ and a subset $E$ of diameter $2r$, then for all $\ep >0$ there exists $m \in M$ such that $E \subset B(m;r+\ep)$. The second proof depends on the calculation of underlying geometric constant, Lifschitz characteristic of a metric tree. It is well known that the classes of condensing or contractive operators defined relative to distinct measures of noncompactness are not equal in general, however in case of metric trees, we show that a map $T$ between two metric trees is $k$-set contractive if and only if it is $k$-ball contractive for $k\geq 0$.}

研究の動機と目的

• 距離木におけるコンパクト性を、距離線分と幾何的性質を用いて特徴づける。
• 2つの標準的な非コンパクト性測度 α(S) と β(S) の正確な関係を確立する。
• 距離木における k-集合収縮的作用素と k-ボール収縮的作用素の同値性を調査する。
• 距離木のリフシッツ特徴量を計算し、非コンパクト性測度と関連付ける。

提案手法

• 距離木における任意の有界集合 S に対して、直径が diam(S) = 2r かつ ε > 0 のとき、S ⊆ B(m; r + ε) を満たす点 m が存在することを、距離木の一意的弧性質を用いて証明する。
• 距離木の任意の2点は、実区間に等長写像される一意的距離線分によって接続されることを利用する。
• 距離木にリフシッツ特徴量 κ(M) を適用し、閉球と線分の交差を含む被覆議論により、κ(M) = 2 であることを示す。
• 補題 3.17 および定理 3.18 から不等式 κ(M)β(A) ≤ α(A) を導出し、κ(M) = 2 のとき α(A) = 2β(A) が得られることを示す。
• α(T(A)) = 2β(T(A)) が成り立つことから、k ≥ 0 に対して β(T(A)) ≤ kβ(A) および α(T(A)) ≤ kα(A) が成り立つことを示すことにより、k-集合収縮的作用素と k-ボール収縮的作用素の同値性を確立する。
• 等長埋め込みおよび α と β の等長変換における不変性を用いて、α = 2β の恒等式により、β が距離木において保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離木における集合測度 α(S) とボール測度 β(S) の正確な関係は何か？
• RQ2 距離木のリフシッツ特徴量は計算可能か？ そして非コンパクト性測度とどのように関連するか？
• RQ3 k-集合収縮的作用素と k-ボール収縮的作用素は距離木において一致するか？
• RQ4 距離線分の幾何的性質は、距離木における被覆およびコンパクト性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の有界集合 A に対して、距離木 M において非コンパクト性の集合測度は α(A) = 2β(A) を満たす。
• 任意の距離木 M に対して、リフシッツ特徴量は正確に κ(M) = 2 であり、このような空間における最大の可能な値である。
• 任意の有界集合 A に対して、すべての距離空間において不等式 κ(M)β(A) ≤ α(A) が成り立ち、κ(M) = 2 のとき α(A) = 2β(A) の等号が成立する。
• 距離木間の写像 T は、すべての k ≥ 0 に対して、k-集合収縮的であるための必要十分条件が k-ボール収縮的であることである。これは α = 2β の恒等式による。
• 一般の距離空間とは異なり、距離木では β は等長埋め込みに関して不変である。これは α = 2β により、α が保存されるとき β も保存されることを保証する。
• リフシッツ特徴量に基づく証明は、2つの閉球の交わりが半径 r の閉球に含まれるように、線分 [x,y] 上に中心点 z を構成することに依存しており、これは木構造のおかげで成立する。