[论文解读] Comparing fat graph models of moduli space

Daniela Egas Santander|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文在开-闭模空间的两个组合模型之间建立了直接的、积分意义上的联系：Godin 的可允许胖图与Costello 的黑白图。利用弧复形的可缩性，本文给出了一个新证明，表明可允许胖图能积分地建模映射类群，并将该结果推广至证明黑白图同样能积分地建模映射类群。关键的是，本文为这两个模型都赋予了一个复合结构，该结构几何地模拟了沿边界粘合cobordism 的过程，从而证明黑白图构成了开-闭cobordism范畴的模型。

ABSTRACT

Godin introduced the categories of open closed fat graphs $Fat^{oc}$ and admissible fat graphs $Fat^{ad}$ as models of the mapping class group of open closed cobordism. We use the contractibility of the arc complex to give a new proof of Godin's result that $Fat^{ad}$ is a model of the mapping class group of open-closed cobordisms. Similarly, Costello introduced a chain complex of black and white graphs $BW$-Graphs, as a rational homological model of mapping class groups. We use the result on admissible fat graphs to give a new integral proof of Costellos's result that $BW$-Graphs is a homological model of mapping class groups. The nature of this proof also provides a direct connection between both models which were previously only known to be abstractly equivalent. Furthermore, we endow Godin's model with a composition structure which models composition of cobordisms along their boundary and we use the connection between both models to give $BW$-Graphs a composition structure and show that $BW$-Graphs are actually a model for the open-closed cobordism category.

研究动机与目标

• 建立Godin的可允许胖图模型与Costello的黑白图模型在开-闭模空间中的直接、积分联系。
• 通过弧复形的可缩性，给出一个新证明，表明可允许胖图能积分地建模开-闭cobordism 的映射类群。
• 为两个模型赋予一个复合结构，该结构几何地模拟了沿边界粘合cobordism 的过程。
• 证明黑白图复形不仅是映射类群的同调模型，同时也是开-闭cobordism范畴的模型。

提出的方法

• 利用弧复形的可缩性，证明可允许胖图的范畴能建模开-闭cobordism 的映射类群。
• 通过其与可允许胖图的对应关系重新解释黑白图，从而为Costello的结果提供一个积分同调证明。
• 在可允许胖图上定义一个拓扑粘合映射，以几何方式模拟沿闭边界和开边界粘合cobordism 的过程。
• 在黑白图上构造一个链映射 ∘_BW，通过移除白色顶点和边的识别，编码沿闭边界和开边界的粘合过程。
• 证明在准胞腔上的粘合映射的像恰好等于由结果黑白图索引的准胞腔的并集。
• 证明复合映射是结合的，并在分类空间上诱导出拓扑复合映射的链模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用可允许胖图，以积分方式建模开-闭模空间的同伦类型？
• RQ2 Godin的可允许胖图与Costello的黑白图之间，除了抽象等价之外，是否存在直接关系？
• RQ3 是否可以在黑白图复形上定义一个复合结构，以几何方式建模沿边界分量粘合cobordism 的过程？
• RQ4 黑白图复形在配备此复合结构后，是否能成为开-闭cobordism范畴的模型？

主要发现

• 可允许胖图的范畴为开-闭cobordism 的映射类群提供了一个新的积分模型，其证明基于弧复形的可缩性。
• 通过与可允许胖图的联系，黑白图复形被证明是映射类群的积分同调模型。
• 在Godin的可允许胖图模型上定义了一个复合结构，该结构几何地模拟了沿闭边界和开边界分量粘合cobordism 的过程。
• 黑白图复形通过已建立的对应关系继承了复合结构，使其成为开-闭cobordism范畴的模型。
• 黑白图上的复合映射 ∘_BW 被证明是分类空间上拓扑复合映射的链模型。
• 在准胞腔上的粘合映射的像恰好等于由结果黑白图索引的准胞腔的并集，从而确认了两个模型之间的兼容性。