[論文レビュー] Comparison of holographic and field theoretic complexities by time dependent thermofield double states

Keun-Young Kim, Chao Niu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、熱場二重状態における時間に依存する複雑さを計算する4つの提案——2つのホログラフィックな手法（CAとCV）と2つの量子場理論的アプローチ（Fubini-StudyとFinsler幾何）——を比較する。すべての手法が、遅い時間における複雑さの増加がLloydの上限（$2E/(π\hbar)$）に達することを示すが、初期時間における挙動は異なる：CVとFinsler幾何では線形増加、Fubini-Studyでは線形減少、CAでは変化なし。これは、CVとFinsler幾何の間のより深い関係を示唆している。

ABSTRACT

We compute the time-dependent complexity of the thermofield double states by four different proposals: two holographic proposals based on the "complexity-action" (CA) conjecture and "complexity-volume" (CV) conjecture, and two quantum field theoretic proposals based on the Fubini-Study metric (FS) and Finsler geometry (FG). We find that four different proposals yield both similarities and differences, which will be useful to deepen our understanding on the complexity and sharpen its definition. In particular, at early time the complexity linearly increase in the CV and FG proposals, linearly decreases in the FS proposal, and does not change in the CA proposal. In the late time limit, the CA, CV and FG proposals all show that the growth rate is $2E/(π\hbar)$ saturating the Lloyd's bound, while the FS proposal shows the growth rate is zero. It seems that the holographic CV conjecture and the field theoretic FG method are more correlated.

研究の動機と目的

• 時間発展する熱場二重（TFD）状態における量子複雑さを計算する4つの異なる提案を比較すること。
• ホログラフィック（CAとCV）と場理論的（FSとFG）の複雑さ定義の整合性と相違を調査すること。
• 遅い時間における複雑さの増加率がLloydの上限と一致するか、および各手法における初期時間ダイナミクスの違いを特定すること。
• 特にCVとFinsler幾何の間の相関関係を評価すること。

提案手法

• エーテルナルAdSブラックホールのWheeler-DeWittパッチにおける作用に等しい複雑さを定義するCA予想を計算する。
• 2つのAdS境界における時間スライスを結ぶスカラーマニフォールドの最大体積として複雑さを定義するCV予想を適用する。
• 量子状態間のFubini-Study計量における測地線長として複雑さを計算するFubini-Study（FS）手法を用いる。
• Finsler幾何（FG）手法を用い、演算子の複雑さをFinsler幾何に基づいて定義し、測地線最適化を通じて状態の複雑さに拡張する。
• 時間発展したTFD状態の境界条件の下で、Finsler長を最小化する制約付き最適化問題を解く。
• 演算子分解 $\hat{U} = \prod_{\vec{k}} \hat{U}_{\vec{k}}$ を用いて運動量空間における複雑さを導出する。ここで $\hat{U}_{\vec{k}}$ は $\gamma_{+}, \gamma_{-}, \gamma_{0}$ でパラメータ化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CA, CV, FS, FGの4つの複雑さの提案は、時間発展する熱場二重状態において、どのように予測を比較できるか？
• RQ2 ホログラフィック的および場理論的複雑さ定義は、特にLloydの上限に関して、遅い時間における一貫性を示すか？
• RQ3 各4つの提案における初期時間における複雑さの挙動は何か？ これはそれらの物理的妥当性に何を示唆するか？
• RQ4 CV予想とFinsler幾何手法の間には、類似した時間発展を示すという点で、より深い構造的相関関係があるか？
• RQ5 Finsler幾何アプローチは、一貫したダイナミクスを示す、ホログラフィック複雑さの妥当な場理論的代替手段を提供できるか？

主な発見

• 初期時間において、CVおよびFinsler幾何（FG）の提案は複雑さが線形に増加すると予測するが、Fubini-Study（FS）の提案は線形に減少し、CAの提案は変化がない。
• 遅い時間の極限において、CA, CV, FGの提案はすべて $2E/(π\hbar)$ の複雑さ増加率を示し、Lloydの上限に達する。
• Fubini-Studyの提案は遅い時間の極限で増加率がゼロであり、時間発展にもかかわらず複雑さの増加がないことを示している。
• FG手法における最小複雑さは $\alpha_0(s,\vec{k}) = \alpha_-(s,\vec{k}) = 0$ のとき達成され、これにより問題は $\mathcal{C} = \ell_0 \int \text{d}^{d-1}k \, |\gamma_+(\vec{k})|$ に簡略化される。
• CAの提案は時間に依存せず一定であり、このモデルでは時間発展に計算コストがかからないことを示している。
• CVとFG手法の構造的類似性は、ホログラフィック体積複雑さと場理論的Finsler複雑さの間の潜在的なより深い対応関係を示唆している。