[論文レビュー] Comparison of max-plus automata and joint spectral radius of tropical matrices

Laure Daviaud, P. Guillon+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Formal Methods in Verification被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2カウンターマシンの停止問題への還元を用いて、トロピカル半群環上の有限行列集合の結合スペクトル半径および最終ランクの決定不能性を確立している。また、すべての状態が初期状態かつ終了状態である、もしくは状態数が制限されている（最小553状態）という厳密な制限下でも、max-plusオートマトンの比較問題が依然として決定不能であることが示されており、トロピカル代数的構造における主要な行列およびオートマトン的性質の計算可能性における根本的な限界を示している。

ABSTRACT

Weighted automata over the max-plus semiring S are closely related to finitely generated semigroups of matrices over S. In this paper, we use results in automata theory to study two quantities associated with sets of matrices: the joint spectral radius and the ultimate rank. We prove that these two quantities are not computable over the tropical semiring, i.e. there is no algorithm that takes as input a finite set of matrices M and provides as output the joint spectral radius (resp. the ultimate rank) of M. On the other hand, we prove that the joint spectral radius is nevertheless approximable and we exhibit restricted cases in which the joint spectral radius and the ultimate rank are computable. To reach this aim, we study the problem of comparing functions computed by weighted automata over the tropical semiring. This problem is known to be undecidable and we prove that it remains undecidable in some specific subclasses of automata.

研究の動機と目的

• トロピカル半群環上の有限行列集合の結合スペクトル半径および最終ランクの計算可能性を調査すること。
• すべての状態が初期状態かつ終了状態である、もしくは状態数が制限されているといった構造的制限下でも、max-plusオートマトンの比較問題が依然として決定不能であるかどうかを特定すること。
• オートマトン理論的決定不能性とトロピカル代数における行列的不変量との間の関係を確立すること。
• トロピカル行列理論におけるスペクトルおよびランク関連不変量の近似可能性および決定可能性の限界を調査すること。
• 従来の普遍的ディオファントス方程式に基づく手法よりも、比較問題が決定不能のままとなる状態数のより緊密な境界を提供すること。

提案手法

• 2カウンターマシン（U2CM）の停止問題からの還元を用いて、max-plusオートマトンの比較の決定不能性を証明する。
• 状態遷移およびカウンタ値を経路重みによって符号化するように、重みが{-1, 0, 1}に属するmax-plusオートマトンを構築し、カウンターマシンの動作をシミュレートする。
• max-plusオートマトンの標準的行列表現を用いて、オートマトン関数とトロピカル行列の半群との関連を確立する。
• 有効なカウンターマシン実行を示す関数を計算するオートマトンを設計し、停止状態に到達した場合にのみ出力が-1となるようにする。
• オートマトン理論の結果を応用し、トロピカル半群環上での結合スペクトル半径および最終ランクの非計算可能性を導出する。
• 結合スペクトル半径が計算可能列挙完全（computably-enumerable-complete）であることを証明し、これは計算不能ではあるが近似可能であることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個のトロピカル行列の集合の結合スペクトル半径は計算可能か？
• RQ2 有限個のトロピカル行列の集合の最終ランクは計算可能か？
• RQ3 すべての状態が初期状態かつ終了状態である場合でも、max-plusオートマトンの比較問題は決定不能か？
• RQ4 状態数が制限されている場合でも、max-plusオートマトンの比較問題が決定不能であることは可能か？
• RQ5 max-plusオートマトンにおいて、比較問題が依然として決定不能である最小の状態数は何か？

主な発見

• トロピカル半群環上の有限行列集合の結合スペクトル半径および最終ランクは計算不能である。
• すべての状態が初期状態かつ終了状態である場合でも、max-plusオートマトンの比較問題は決定不能である。
• 最大553状態のmax-plusオートマトンに対しても、比較問題は依然として決定不能である。
• 結合スペクトル半径は計算可能列挙完全であるため、計算不能ではあるが近似可能である。
• 重みが{-1, 0, 1}に属する多項式的曖昧なmax-plusオートマトンに対しても、決定不能性の結果は成り立つ。
• 従来の普遍的ディオファントス方程式に基づく手法よりも、決定不能性が成立する状態数の境界をより緊密に特定できた。