[論文レビュー] Comparison of the methods for discrete approximation of the fractional-order operator

Ľ. Dorčák, Ivo Petráš+2 more|ArXiv.org|Jun 1, 2003

Advanced Control Systems Design参考文献 13被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、分数階微分作用素の離散近似手法を比較し、累乗級数展開（PSE）、TustinおよびAl-Alaoui作用素を用いた連分数展開（CFE）、およびMuir展開を評価している。ボーデ線図と時領域シミュレーションを用いて、CFEはPSEよりも優れた精度を示す一方、Muir展開は安定性および精度の制限により、特に小さな時間刻みではほとんど効果がなく、無効であることが判明した。

ABSTRACT

In this paper we will present some alternative types of discretization methods (discrete approximation) for the fractional-order (FO) differentiator and their application to the FO dynamical system described by the FO differential equation (FDE). With analytical solution and numerical solution by power series expansion (PSE) method are compared two effective methods - the Muir expansion of the Tustin operator and continued fraction expansion method (CFE) with the Tustin operator and the Al-Alaoui operator. Except detailed mathematical description presented are also simulation results. From the Bode plots of the FO differentiator and FDE and from the solution in the time domain we can see, that the CFE is a more effective method according to the PSE method, but there are some restrictions for the choice of the time step. The Muir expansion is almost unusable.

研究の動機と目的

• 分数階微分作用素の離散近似技術を評価・比較すること。
• さまざまな数値的手法が分数階微分作用素を近似する際の精度および安定性を分析すること。
• 時間領域および周波数領域における分数階微分方程式（FDE）のシミュレーションに最も効果的な手法を特定すること。
• 時間刻みの選択が、特にCFEおよびPSEの性能に与える影響を評価すること。
• 各手法の実用的制限および制御系設計およびシミュレーションにおける適用可能性を特定すること。

提案手法

• 分数階微分作用素の近似として、累乗級数展開（PSE）法を基準となる解析的解として用いる。
• 連分数展開（CFE）法をTustinおよびAl-Alaouiシフト作用素に適用し、分数階微分作用素の離散近似を導出する。
• Muir展開法を用いて、Tustin作用素の級数展開を用いて分数階微分作用素を近似する。
• 周波数領域での分析として、ボーデ線図を用いて近似作用素の周波数応答（利得および位相）を比較する。
• 時領域でのシミュレーションを実施し、各手法を用いた分数階微分方程式（FDE）の数値解を比較する。
• 精度、安定性、時間刻みサイズへの感受性に基づいて、各手法の性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFE、PSE、およびMuir展開法は、周波数領域において分数階微分作用素をどの程度正確に近似できるか？
• RQ2 時間刻みサイズが、分数階システムの離散近似の精度および安定性に与える影響は何か？
• RQ3 与えられた分数階微分方程式に対して、どの手法が最も正確な時領域解を提供するか？
• RQ4 理論的根拠はあるにもかかわらず、なぜMuir展開法は無効であると判明したのか？
• RQ5 計算効率および精度の観点から、CFE法がPSE法を上回る状況はどのようなものか？

主な発見

• TustinおよびAl-Alaoui作用素を用いた連分数展開（CFE）法は、累乗級数展開（PSE）法よりも、分数階微分作用素の近似精度が優れている。
• ボーデ線図による確認により、CFE法は理想の分数階微分作用素との周波数領域での一致度が高く、利得および位相応答が近い。
• PSE法は特に高周波数帯で位相遅れと利得のずれが顕著に現れ、正確なシステムモデル化には不適切である。
• Muir展開法は、近似品質が低く、特に時間刻みが小さい場合に不安定であるため、ほとんど使用不能であることが判明した。
• CFE法は時間刻みの選択に注意を要するが、時間刻みが大きすぎたり小さすぎたりすると性能が低下するため、最適範囲が狭いことが示された。
• 時領域シミュレーションにより、CFE法は解析的基準解に近い解を生成することが確認され、実用的なFDEシミュレーションにおける優位性が裏付けられた。