[論文レビュー] Comparisons between periodic, analytic and local cyclic cohomology

Ralf Meyer|ArXiv.org|May 27, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリー群の滑らかな畳み込み代数について、周期的、解析的、局所的循環コホモロジー理論を比較し、代数のホモロジー次元が有限であるにもかかわらず、解析的および周期的コホモロジーが一致しないことを明らかにしている。主な結果は、$ C^{\infty}(K) $ に対して周期的コホモロジーから解析的コホモロジーへの自然な写像が全射でないということであり、これは、ホモロジー次元が有限なバナッハ代数に対してはKhalkhaliが示した既知の結果と矛盾する。

ABSTRACT

We compute periodic, analytic and local cyclic cohomology for convolution algebras of compact Lie groups in order to exhibit differences between these theories. A surprising result is that the periodic and analytic cyclic cohomology of the smooth convolution algebras differ, although these algebras have finite homological dimension.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における周期的、解析的、局所的循環コホモロジー理論の違いを調査すること。
• ホモロジー次元が有限な代数に対して周期的および解析的循環コホモロジーが一致することを示したKhalkhaliの結果が、核的Fréchet代数へと拡張できるかを検証すること。
• $ \mathcal{H}(K) $, $ C^\infty(K) $, および $ C^\ast(K) $ の比較を通じて、滑らかな部分代数が循環コホモロジーに与える役割を明確にすること。
• $ C^\infty(K) $ および $ C^\ast(K) $ に対して、K理論から解析的循環コホモロジーへのChern-Connes字の全射性を確立すること。
• 非可換幾何学における Baum-Connes予想およびPoincaré双対性への影響を検討すること。

提案手法

• コンパクトなリー群の畳み込み代数について、周期的、解析的、局所的循環コホモロジーを計算し、$ K = S^1 $ をモデル例として焦点を当てる。
• 双不変局所的循環コホモロジーの普遍係数定理を用いて、$ \operatorname{HL}_\ast(\mathcal{H}(K)) $, $ \operatorname{HL}_\ast(C^\infty(K)) $, および $ \operatorname{HL}_\ast(C^\ast(K)) $ の間に同型が存在することを示す。
• 分離可能な $ C^\ast $-代数に対して、自然変換 $ \operatorname{ch}: \operatorname{K}^\ast(A) \to \operatorname{HA}^\ast(A) $ を通じて解析的循環コホモロジーにおけるChern-Connes字を適用する。
• $ \operatorname{HA}^0(C^\ast(K)) $ におけるChern-Connes字の像を分析し、$ \mathbb{C}^{\hat{K}} $ に全射であることを示し、これにより局所的コホモロジーへの全射性が得られることを示す。
• $ C^\infty(K) $ が双射型であるという事実を活用して、ホッホシュタイナーおよび循環コホモロジーを計算するが、周期的コホモロジーが同型に写らないことを示す。
• $ \mathcal{H}(K) \cong \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \mathbb{C} $ および $ C^\infty(S^1) \cong \mathcal{S}(\mathbb{Z}) $ の構造を用いて、有界性および生体的構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核的Fréchet代数でホモロジー次元が有限である場合、周期的および解析的循環コホモロジーは一致するか？
• RQ2 滑らかな部分代数の選択が、周期的および解析的循環コホモロジーの振る舞いにどのように影響を与えるか？
• RQ3 $ C^\infty(K) $ および $ C^\ast(K) $ に対して、K理論から解析的循環コホモロジーへのChern-Connes字は全射か？
• RQ4 $ C^\infty(K) $ の局所的循環コホモロジーはK理論によって完全に記述可能か？また、周期的コホモロジーとはどのように関係するか？
• RQ5 von Neumannの生体的構造と細かい生体的構造の違いが、解析的および周期的コホモロジーを区別する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 自然な写像 $ \operatorname{HP}^\ast(C^\infty(K)) \to \operatorname{HA}^\ast(C^\infty(K)) $ は全射でない。これは、$ C^\infty(K) $ に対して周期的および解析的コホモロジーが一致しないことを示しており、ホモロジー次元が有限であるにもかかわらず成り立つ。
• Chern-Connes字 $ \operatorname{ch}: \operatorname{K}^0(C^\ast(K)) \otimes \mathbb{C} \to \operatorname{HA}^0(C^\ast(K)) $ は全射であり、局所的コホモロジーへの写像と合成することで、$ \mathbb{C}^{\hat{K}} \to \mathbb{C}^{\hat{K}} $ の標準的写像が得られ、その像は $ \mathbb{C} $ の有限生成部分群に属する列からなる。
• $ \operatorname{HA}^0(C^\ast(K)) $ におけるChern-Connes字の像は $ \ell^1(\hat{K}, \dim) $ を含み、$ \mathbb{C} $ が有限生成部分群を稠密に持つことから、そのような列と $ \ell^1 $-列の和が $ \mathbb{C}^{\hat{K}} $ 全体を覆う。これにより、$ \operatorname{HA}^\ast(C^\ast(K)) \to \operatorname{HL}^\ast(C^\ast(K)) $ の全射性が証明される。
• $ \mathcal{H}(K) $ に対しては、周期的、解析的、局所的コホモロジーのすべてが、コホモロジーおよびホモロジーにおいて一致する。これは、その直和構造のおかげである。
• $ \operatorname{HP}^\ast(C^\infty(K)) \to \operatorname{HA}^\ast(C^\infty(K)) $ が同型でないという事実は、$ C^\infty(K) $ がde Rhamコホモロジーを周期的循環コホモロジーで記述するにはあまりに大きく、de Rhamコホモロジーを記述するには $ \mathcal{H}(K) $ にまで下がる必要があることを示している。
• $ C^\infty(K) $ および $ C^\ast(K) $ の解析的および局所的循環コホモロジーは同型であるが、これは周期的コホモロジーと一致するとは限らず、理論間の根本的な違いを強調している。