[論文レビュー] Complete localisation in the parabolic Anderson model with Pareto-distributed potential

Wolfgang König, Peter Mörters+1 more|ArXiv.org|Aug 22, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℤᵈ 上のパレート分布に従うポテンシャルを伴う放物型アンダーソンモデルにおいて、完全局在化を確立する。大時間において、解は高確率で単一のランダムなサイトに集中することが示される。フェインマン＝カックの公式と極値理論を用いて、解の全質量が、増大する球内の最大ポテンシャル値の位置として特定される1つの支配的サイトによって漸近的に持ち込まれることを証明する。

ABSTRACT

The parabolic Anderson problem is the Cauchy problem for the heat equation $\partial_t u(t,z)=Δu(t,z)+ξ(z) u(t,z)$ on $(0,\infty) imes {\mathbb Z}^d$ with random potential $(ξ(z) \colon z\in {\mathbb Z}^d)$. We consider independent and identically distributed potential variables, such that Prob$(ξ(z)>x)$ decays polynomially as $x\uparrow\infty$. If $u$ is initially localised in the origin, i.e. if $u(0,x)=\one_0(x)$, we show that, at any large time $t$, the solution is completely localised in a single point with high probability. More precisely, we find a random process $(Z_t \colon t\ge 0)$ with values in $\Z^d$ such that $\lim_{t \uparrow\infty} u(t,Z_t)/\sum_{z\in\Z^d} u(t,z) =1,$ in probability. We also identify the asymptotic behaviour of $Z_t$ in terms of a weak limit theorem.

研究の動機と目的

• 重い尾を持つ（パレート型）ポテンシャルを伴う放物型アンダーソン方程式の解の幾何的構造を調査すること。
• 解が完全局在化を示すかどうか、すなわち時間の増加に伴い全質量が単一のサイトに集中するかどうかを特定すること。
• 支配的サイトの漸近的位置を同定し、その確率的挙動を特徴付けること。
• 指数モーメントが存在しない重い尾の領域にまで、確率的媒体における間欠性の理解を拡張すること。

提案手法

• ブラウン運動路の期待値として解を表現するため、フェインマン＝カックの公式を用いる。
• 有限ボックス上のアンダーソンハミルトニアンの主固有値を評価するために、レイリー＝リッツの変分原理を用いる。
• 増大する球内の i.i.d. パレート分布に従うポテンシャル値の最大値を分析するために極値理論を適用する。
• 増大する球 $ B_{R_t} $ 内で最大ポテンシャル値を達成する位置としてランダムなサイト $ Z_t $ を定義し、それが解の質量を捉えていることを示す。
• 強マルコフ性と経路ごとの推定を用いて、$ Z_t $ 以外のサイトからの寄与を比較し、それらの相対的質量が消えることを示す。
• スケーリングを適切に施した後、サイト $ Z_t $ の弱収束を確立し、その漸近的挙動を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パレート分布に従うポテンシャルを伴う放物型アンダーソンモデルの解は、大時間において完全局在化を示すか？
• RQ2 解質量の大部分を占める支配的サイトの漸近的位置は何か？
• RQ3 ポテンシャルが重い尾を持ち、有限の指数モーメントが存在しない場合、解質量の分布はどのように振る舞うか？
• RQ4 増大するボックス内の最大ポテンシャル値の位置を用いて、解の局在化を予測できるか？
• RQ5 時間の増加に伴い、支配的サイト以外の質量がどの程度の速度で消えるか？

主な発見

• 大時間において解 $ u(t, \bullet) $ は完全局在化する：高確率で $ u(t, Z_t) / \big(\textstyle\bigsum_{z\neq Z_t} u(t,z)\big) \to 1 $ が $ t \to \biginfty $ のとき成り立つ。
• 支配的サイト $ Z_t $ はほとんど確実に、$ R_t \to \biginfty $ となる増大する球 $ B_{R_t} $ 内で最大ポテンシャル値を達成する位置である。
• 解の全質量 $ U(t) $ に対して、$ Z_t $ 以外のすべてのサイトの寄与は、$ t \to \biginfty $ のとき確率的に消える。
• $ Z_t $ の漸近的挙動は弱極限定理によって特徴付けられ、適切なスケーリングを施した後、分布収束することが示される。
• 証明は、球内での2番目に大きなポテンシャル値が最大値に比べて著しく小さいこと、したがって単一のサイトによる支配が保証されることに依存する。
• パレートポテンシャルに有限の指数モーメントが存在しないことにより、より強い間欠性が生じ、結果として単一のサイトへの完全局在化が生じる。