[論文レビュー] Complete Residue Systems: A Primer and an Application

Pietro Paparella|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Graphite, nuclear technology, radiation studies参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、hを法とする完全剰余系（CRS）について、厳密な取り扱いを提供し、整数の集合がCRSをなすための必要十分条件が、その指数がh次の単位根をすべて生成することであることを確立している。また、hを法とするpによる乗算に関する古典的定理の逆を証明し、{pa₀,…,paₕ₋₁} がhを法とするCRSであるための必要十分条件がgcd(p,h)=1であること、さらにp次の単位根を再構成して全集合Ωₕを得られるのはgcd(h,p)=1のときであることを示しており、非負行列の根に関する含意を伴う。

ABSTRACT

Complete residue systems play an integral role in abstract algebra and number theory, and a description is typically found in any number theory textbook. This note provides a concise overview of complete residue systems, including a robust definition, several well-known results, a proof to the converse of a well-known theorem, ancillary results pertaining to an application arising from the study of the roots of nonnegative matrices, and extends our knowledge of complete residue systems in relation to complete sets of roots of unity.

研究の動機と目的

• hを法とする完全剰余系（CRS）について、基礎的な定義と性質を含めた包括的かつ自己完結的な概論を提供すること。
• よく知られた定理の逆を証明する：{pa₀,…,paₕ₋₁} がhを法とするCRSであるための必要十分条件がgcd(p,h)=1であることであり、文献における一般的な見落としを是正すること。
• CRS理論を非負行列の根の研究に応用し、p次の単位根がどのようにして全集合Ωₕに再構成可能かを分析すること。
• p次の根関数の分枝の選択が、全h次の単位根の集合を再構成できるための必要十分条件を確立すること。
• CRSの知識を拡張し、単位根と関連づけ、gcd条件を含む新しい数論的特徴づけを提供すること。

提案手法

• hを法とする完全剰余系（CRS）を、その剰余がすべて異なり、{0,1,…,h−1} をすべてカバーするh個の整数の集合として定義する。
• 写像f(aᵢ) = aᵢ mod h を用いて、R(h) = {0,1,…,h−1} への単射性または全射性によってCRSを特徴付ける。
• 定理2：gcd(k,m)=d ならば、ka≡kb mod m であるための必要十分条件は a≡b mod (m/d) であり、系3：gcd(k,m)=1 ならば、kによる乗算はmod m で合同関係を保つことを適用する。
• 補題8：a≡b mod h ならば (a+c)≡(b+c) mod h であり、補題10：(a+hc)≡(b+hd) mod h であるための必要十分条件は a≡b mod h であることを用い、アフィン変換下でも剰余構造が保たれることを示す。
• p次の根関数 fₗ(z) = z¹ᐟᵖ e²πⁱˡᐟᵖ （l=0,…,p−1）を導入し、p次の根のl番目の分枝を定義する。
• 集合 (Ωₕ)ₗ¹ᐟᵖ = {fₗ₀(1), fₗ₁(ω), …, fₗₕ₋₁(ω^{h−1})} を分析し、{k + h lₖ} mod p がすべての剰余をカバーする必要があることから、gcd(h,p)=1 ならば Ωₕ に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 {pa₀, pa₁, …, paₕ₋₁} がhを法とする完全剰余系をなすのはいつか？pに関する正確な条件は何か？
• RQ2 h次の単位根のp次の根をどのようないくつかの分枝を選べば、その像が全集合Ωₕになるか？
• RQ3 分枝 l = (l₀,…,lₕ₋₁) の選択について、(Ωₕ)ₗ¹ᐟᵖ = Ωₕ となるための必要十分条件は何か？
• RQ4 完全剰余系の構造は、複素平面上の単位根の乗法的構造とどのように関係しているか？
• RQ5 gcd(h,p) は、p次の根の系が全h次の単位根の集合を再構成可能かどうかを決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 整数の集合 {a₀,…,aₕ₋₁} がhを法とする完全剰余系であるための必要十分条件は、{ω^{a₀},…,ω^{aₕ₋₁}} が全h次の単位根の集合Ωₕに等しいことである。
• {pa₀,…,paₕ₋₁} がhを法とする完全剰余系であるための必要十分条件はgcd(p,h)=1であり、この結果は両方向に証明されており、文献における一般的な欠落を是正している。
• 任意の整数lに対して、{pa₀ + l, …, paₕ₋₁ + l} がhを法とするCRSであるための必要十分条件はgcd(p,h)=1である。これは、剰余類が加法に対して不変であることによる。
• (Ωₕ)ₗ¹ᐟᵖ = {fₗ₀(1), fₗ₁(ω), …, fₗₕ₋₁(ω^{h−1})} がΩₕに等しいための必要十分条件はgcd(h,p)=1であり、これは各kに対して (k + h lₖ)/p が整数であり、かつ指数がすべてのmod h での剰余をカバーするようなlₖが存在することを保証する。
• 有理数の指数q/pに対して、(Ωₕ)ₗ^{q/p} がΩₕに等しいための必要十分条件は、gcd(h,p)=1 かつ gcd(h,q)=1 である。これは、分数乗への結果の拡張である。
• 証明は、gcd(h,p)=d>1 ならば、{k + h lₖ} mod p がすべての剰余をカバーできないこと、よっていかなる分枝の選択でも全h次の単位根を得られないことに基づいている。