[論文レビュー] Complete systems of invariants for rank 1 curves in Lagrange Grassmannians

Igor Zelenko|ArXiv.org|Nov 9, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、速度写像がランク1の線形作用素であるような、ラグランジュ・グラスマンニアン内のランク1曲線の完全なシンプレクティック不変量系を構成する、より単純な新しいアプローチを提示する。正規化された移動フレームを導入し、構造方程式を最小限にすることで、$ m $ 個の主不変量（$ m $ はシンプレクティック空間の次元の半分）の組を構成する。任意の $ m $ 個の滑らかな関数が、シンプレクティック変換を除いて一意に定まる曲線の不変量として実現可能であることを証明し、従来の手法よりも直接的かつ明確な方法で長年の問題を解決する。

ABSTRACT

Curves in Lagrange Grassmannians naturally appear when one studies intrinsically "the Jacobi equations for extremals", associated with control systems and geometric structures. In this way one reduces the problem of construction of the curvature-type invariants for these objects to the much more concrete problem of finding of invariants of curves in Lagrange Grassmannians w.r.t. the action of the linear Symplectic group. In the present paper we develop a new approach to differential geometry of so-called rank 1 curves in Lagrange Grassmannian, i.e., the curves with velocities being rank one linear mappings (under the standard identification of the tangent space to a point of the Lagrange Grassmannian with an appropriate space of linear mappings). The curves of this class are associated with "the Jacobi equations for extremals", corresponding to control systems with scalar control and to rank 2 vector distributions. In particular, we construct the tuple of m principal invariants, where m is equal to half of dimension of the ambient linear symplectic space, such that for a given tuple of arbitrary m smooth functions there exists the unique, up to a symplectic transformation, rank 1 curve having this tuple, as the tuple of the principal invariants. This approach extends and essentially simplifies some results of our previous paper (J. Dynamical and Control Systems, 8, 2002, No. 1, 93-140), where only the uniqueness part was proved and in rather cumbersome way. It is based on the construction of the new canonical moving frame with the most simple structural equation.

研究の動機と目的

• ラングランジュ・グラスマンニアン内のランク1曲線の完全なシンプレクティック不変量系を構築すること。これは、制御系や幾何的構造における曲率型不変量の研究において中心的な役割を果たす。
• 従来の手法が煩雑な方法で不変量の一意性を示したのに対し、より直接的かつ概念的に単純な方法を導入することで、その限界を克服すること。
• 構造方程式が簡略化された正規化された移動フレームを構築し、不変量の明示的導出を可能にすること。
• 任意の $ m $ 個の実直線上の滑らかな関数が、シンプレクティック変換を除いて一意に定まるランク1曲線の主不変量として実現可能であることを証明すること。ここで $ m $ は周囲のシンプレクティック空間の次元の半分である。

提案手法

• 著者たちは、与えられたラグランジュ部分空間に交わるラグランジュ部分空間の集合のアフィン構造を活用することで、ランク1曲線のための新しい正規化された移動フレームを導入する。
• 曲線の速度がアフィン空間上で定義されるベクトル値関数 $ w(t, \tau) $ を定義し、$ t = \tau $ で $ m $ 階の極を持つ。これにより、各 $ \Lambda(\tau) $ 上に正規化された基底 $ e_1(\tau), \dots, e_m(\tau) $ を得る。
• $ w(t, \tau) $ の $ t = \tau $ におけるローラン展開から係数 $ e_1(\tau), \dots, e_m(\tau) $ を得る。これらは $ \Lambda(\tau) $ の基底をなす。
• 導関数曲線 $ \Lambda^0(\tau) $ は、$ \Lambda(\tau)^{\pitchfork} $ 内に存在する唯一の部分空間であり、$ \Lambda_\tau(t) - \Lambda^0(\tau) $ のローラン展開の定数項がゼロになるように定義され、フレームの正規化が保証される。
• シンプレクティック双対性 $ \sigma(f_i, e_j) = \delta_{ij} $ を用いて、双対ベクトル $ f_1(\tau), \dots, f_m(\tau) $ を定義し、正規化されたダーブー・フレーム $ (e_1, \dots, e_m, f_1, \dots, f_m) $ を完成させる。
• このフレームの構造方程式が、可能な限り単純であることが示され、主不変量 $ \lambda_i(t) $ の直接的構成が可能となり、それらが完全なシンプレクティック不変量系を形成することが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の手法よりも直接的かつ概念的に明快な方法で、ラグランジュ・グラスマンニアン内のランク1曲線の完全なシンプレクティック不変量系を構築することは可能か？
• RQ2 任意の $ m $ 個の滑らかな関数の組が、シンプレクティック変換を除いて一意に定まるランク1曲線の不変量として実現可能であることを証明することは可能か？
• RQ3 構造方程式が最小限に抑えられ、不変量の明示的計算を容易にするような正規化された移動フレームをどのように構築できるか？
• RQ4 集合 $ \Lambda^{\pitchfork} $ 上のアフィン構造は、ランク1曲線の正規化基底およびフレームの定義において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$ 2m $ 次元のシンプレクティック空間におけるラグランジュ・グラスマンニアン内のランク1曲線に対して、$ m $ 個の主不変量 $ \lambda_1(t), \dots, \lambda_m(t) $ の完全な不変量系が構築された。
• 任意の $ m $ 個の $ \mathbb{R} $ 上の滑らかな関数に対して、それらが主不変量として正確に実現されるような、シンプレクティック変換を除いて一意に定まるランク1曲線が存在する。
• 新規の正規化された移動フレームは、可能な限り単純な構造方程式を持つため、不変量の計算プロセスが著しく簡素化された。
• 関数 $ w(t, \tau) $ のローラン展開に基づく手法により、各 $ \Lambda(\tau) $ 上に正規化された基底 $ e_1(\tau), \dots, e_m(\tau) $ が得られ、フレーム構築において不可欠な役割を果たす。
• 導関数曲線 $ \Lambda^0(\tau) $ は、$ \Lambda(\tau)^{\pitchfork} $ 内に存在する唯一の部分空間として定義され、$ \Lambda_\tau(t) - \Lambda^0(\tau) $ の展開における定数項がゼロになるように選ばれる。これによりフレームの正規化が保証される。
• 得られた正規化されたダーブー・フレーム $ (e_1, \dots, e_m, f_1, \dots, f_m) $ は、曲線のシンプレクティック不変パラメータ化を提供し、完全な不変量系の導出を可能にする。