[論文レビュー] Completions of µ-Algebras

Luigi Santocanale, Lif-Cmi Marseille|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非自明なµ代数の類において、非完備化可能なメンバーを含むことを確立し、自由なモーダルµ代数に関しては、固定点の交互階層におけるすべての演算を保存するMacNeille-Dedekind完備化を構成可能なWhitmanに類似した条件を証明する。さらに、最小の前置点が構成的反復式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥) を満たすことを示し、モーダル演算子が自由なモーダルµ代数において随伴関手として作用することを示す。

ABSTRACT

A µ-algebra is a model of a first order theory that is an extension of the theory of bounded lattices, that comes with pairs of terms (f, µx.f) where µx.f is axiomatized as the least prefixed point of f, whose axioms are equations or equational implications. Standard µ-algebras are complete meaning that their lattice reduct is a complete lattice. We prove that any non trivial quasivariety of µ-algebras contains a µ-algebra that has no embedding into a complete µ-algebra. We focus then on modal µ-algebras, i.e. algebraic models of the propositional modal µ-calculus. We prove that free modal µ-algebras satisfy a condition – reminiscent of Whitman’s condition for free lattices – which allows us to prove that (i) modal operators are adjoints on free modal µ-algebras, (ii) least prefixed points of Σ1-operations satisfy the constructive relation µx.f = ∨ n≥0 fn (⊥). These properties imply the following statement: the MacNeille-Dedekind completion of a free modal µ-algebra is a complete modal µ-algebra and moreover the canonical embedding preserves all the operations in the class Comp(Σ1,Π1) of the fixed point alternation hierarchy.

研究の動機と目的

• すべてのµ代数が完全µ代数に埋め込めるかどうかを調査すること。
• 完全性および固定点の構成に関連する自由なモーダルµ代数の構造的性質を特定すること。
• 自由なモーダルµ代数のMacNeille-Dedekind完備化が完全なモーダルµ代数をもたらす条件を確立すること。
• 自由なモーダルµ代数におけるモーダル演算子および最小の前置点の振る舞いを分析すること。
• 標準埋め込みが固定点交互階層のComp(Σ1,Π1)クラスにおけるすべての演算を保存することを検証すること。

提案手法

• 非自明なµ代数の類に、完全µ代数に埋め込めないµ代数が存在することを証明する。
• 自由なモーダルµ代数に対してWhitmanに類似した条件を導入し、その順序論的性質の構造的分析を可能にする。
• 自由なモーダルµ代数におけるモーダル演算子が随伴関手であることを示し、強い双対性の性質を示す。
• Σ1-演算子の最小の前置点に対して、構成的反復式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥) が成り立つことを確立する。
• 自由なモーダルµ代数にMacNeille-Dedekind完備化の構成を適用し、完全なモーダルµ代数を導出する。
• 標準埋め込みが固定点交互階層のComp(Σ1,Π1)クラスにおけるすべての演算を保存することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのµ代数が完全µ代数に埋め込めるのか、それとも非自明な類に非完備化可能な例が存在するのか？
• RQ2 自由なモーダルµ代数の構造を活用して、すべての演算を保存する完全な完備化を構成できるか？
• RQ3 自由なモーダルµ代数におけるモーダル演算子は随伴関手として作用するのか？ これはその順序論的構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 自由なモーダルµ代数における最小の前置点に対して、式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥) が有効であるか？
• RQ5 自由なモーダルµ代数をそのMacNeille完備化に埋め込む標準埋め込みは、固定点交互階層のComp(Σ1,Π1)クラスにおけるすべての演算を保存するか？

主な発見

• 非自明なµ代数の類には、完全µ代数に埋め込めないµ代数が含まれる。
• 自由なモーダルµ代数はWhitmanに類似した条件を満たし、その順序および随伴性に関する構造的分析が可能になる。
• 自由なモーダルµ代数におけるモーダル演算子は随伴関手である。これは強い双対性および順序論的整合性を反映している。
• 任意のΣ1-演算子fの最小の前置点は、構成的反復式 µx.f = ∨n≥0 fn(⊥) を満たす。
• 自由なモーダルµ代数のMacNeille-Dedekind完備化は、完全なモーダルµ代数をもたらす。
• 自由なモーダルµ代数をそのMacNeille完備化に埋め込む標準埋め込みは、固定点交互階層のComp(Σ1,Π1)クラスにおけるすべての演算を保存する。