[論文レビュー] Complex actions and causality violations: Applications to Lorentzian quantum cosmology

Seth K. Asante, Bianca Dittrich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ピカール＝レフシェッツ理論を用いて導かれる複素化された作用を用いることで、ローレンツ型レッジ重力の経路積分における曖昧性を解消し、因果律違反型配置が抑制されるか増幅されるかを一意に決定することを示している。因果律違反型配置の抑制または増幅の有無が、二つの古典的ローレンツ型作用の選択に依存しないことは、それらの解析接続が等価であるためであり、また、境界なし波動関数におけるヤルムルケ型因果律違反幾何が、経路積分の自然な曲線変形によって抑制されることを示している。離散的デ de Sitter 宇宙における境界なし波動関数において、因果律違反型幾何が自然に抑制されることを示している。

ABSTRACT

For the construction of the Lorentzian path integral for gravity one faces two main questions: Firstly, what configurations to include, in particular whether to allow Lorentzian metrics that violate causality conditions. And secondly, how to evaluate a highly oscillatory path integral over unbounded domains. Relying on Picard-Lefschetz theory to address the second question for discrete Regge gravity, we will illustrate that it can also answer the first question. To this end we will define the Regge action for complexified variables and study its analytical continuation. Although there have been previously two different versions defined for the Lorentzian Regge action, we will show that the complex action is unique. More precisely, starting from the different definitions for the action one arrives at equivalent analytical extensions. The difference between the two Lorentzian versions is only realized along branch cuts which arise for a certain class of causality violating configurations. As an application we discuss the path integral describing a finite evolution step of the discretized deSitter universe. We will in particular consider an evolution from vanishing to finite scale factor, for which the path integral defines the no-boundary wave function.

研究の動機と目的

• 因果律違反型配置における離散的量子重力におけるローレンツ型レッジ作用の定義の曖昧性を解消すること。
• 量子重力における非有界領域における高振動的ローレンツ型経路積分の計算課題に対処すること。
• ヤルムルケ型やパンツ型配置といった因果律違反幾何が、経路積分の枠組みにおいて抑制されるか、増幅されるかを特定すること。
• ピカール＝レフシェッツ理論が、ローレンツ型量子宇宙論における曲線変形と因果構造の選択の両方を一貫した枠組みで提供することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、解析接続を用いて複素化されたレッジ作用を定義し、以前別個に定義されていた二つのローレンツ型定義が、等価な解析接続をもたらすことを示している。
• ピカール＝レフシェッツ理論を用いて、積分の曲線を複素平面に変形し、高振動的被積分関数を急速に減衰する形に変換している。
• この手法では、特に $ r_h > s_l/8 $ の配置において、複素化作用における分岐点と分岐カットを特定し、特異点回りのモノドロミーを分析している。
• 離散的 de Sitter 宇宙における有限な時間発展ステップについて、境界なし波動関数（スケール因子がゼロから有限値へ）を焦点に、経路積分を評価している。
• 多価対数関数項を用いたレッジ指数の解析接続が行われており、整数の巻き数 $ m, n, k $ によって位相寄与が $ \pi $ の整数倍ずつずれる。
• この枠組みは、ボール型およびシェル型モデルに適用されており、複素化作用におけるブロック、境界、体積寄与の明示的表現が与えられている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面における解析接続によって、二つの異なるローレンツ型レッジ作用の定義を統合できるか？
• RQ2 ピカール＝レフシェッツ理論は、離散的重力におけるローレンツ型経路積分の評価に対して一貫的かつ一意な手続きを提供するか？
• RQ3 ヤルムルケ型配置のような因果律違反幾何は、複素化作用を用いた場合に自然に経路積分の重み付けで抑制されるか？
• RQ4 曲線変形の選択が、境界なし波動関数における因果律違反型と因果的整合的幾何の相対的重みにどのように影響するか？
• RQ5 複素化作用の枠組みは、パンツ型かヤルムルケ型配置が増幅されるか抑制されるかという曖昧性を解消できるか？

主な発見

• 複素化されたレッジ作用は一意的である：二つの古典的ローレンツ型定義は、等価な解析接続を経て、作用の定義における従来の曖昧性を解消する。
• 因果律違反型配置（$ r_h > s_l/8 $）は、複素化作用に分岐カットを導入し、これらのカット回りのモノドロミーは、レッジ指数における位相の $ \pi $ の整数倍のシフトを引き起こす。
• ヤルムルケ型配置に対しては、ピカール＝レフシェッツの曲線変形により、作用の虚部が指数的減衰を引き起こし、経路積分の振幅が抑制される。
• 離散的 de Sitter 宇宙における有限時間発展ステップの境界なし波動関数は、この複素化枠組みを用いて一貫して定義されており、因果律違反幾何が抑制されている。
• 複数の光円錐を持つ配置（例：パンツ型）は自然に抑制され、因果的整合的配置は強化され、物理的期待と整合する。
• 対数関数項を含む作用の解析的構造（多価分岐）は、幾何に完全に依存しており、曲線変形後に物理的に整合する振幅が得られる。