[論文レビュー] Complex analysis methods in noncommutative probability

Serban T. Belinschi|ArXiv.org|Feb 15, 2006

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、非可換確率論における自由および単調的畳み込みを研究するために、特に上半平面における正則関数の劣微分および逆定理を用いた複素解析的手法を適用する。自由加法的畳み込みの二つの確率測度の和は、正の局所解析的密度を有することを確立し、Denjoy-Wolff 固定点理論を用いて、単調的畳み込みにおける無限に可分な測度が一パrameter半群に埋め込まれることを証明する。

ABSTRACT

In this thesis we study convolutions that arise from noncommutative probability theory. We prove several regularity results for free convolutions, and for measures in partially defined one-parameter free convolution semigroups. We discuss connections between Boolean and free convolutions and, in the last chapter, we prove that any infinitely divisible probability measure with respect to monotonic additive or multiplicative convolution belongs to a one-parameter semigroup with respect to the corresponding convolution. Earlier versions of some of the results in this thesis have already been published, while some others have been submitted for publication. We have preserved almost entirely the specific format for PhD theses required by Indiana University. This adds several unnecessary pages to the document, but we wanted to preserve the specificity of the document as a PhD thesis at Indiana University.

研究の動機と目的

• 非可換確率論における自由加法的畳み込みの正則性特性を調査すること。
• 自由加法的畳み込みの特異連続部が穏当な条件下で消えるかどうかを特定すること。
• 任意の与えられた確率測度を含む一パrameter自由畳み込み半群の存在を確立すること。
• 解析的劣微分を通じて、自由およびブール無限可分性の間の関係を探索すること。
• 単調的無限可分な測度が加法的または乗法的畳み込みに関して一パrameter半群に属することを証明すること。

提案手法

• 上半平面に定義された正則関数の劣微分および逆定理を用いる。
• 反復における正則関数の挙動を分析するために Denjoy-Wolff 固定点理論を適用する。
• 自由畳み込み操作を特徴付けるために R 変換および F 変換（自由畳み込み変換）を用いる。
• コンformal 写像、特に関数 $\mathcal{V}(z) = \frac{\theta(-z) - 1}{\theta(-z) + 1}$ を用いて、乗法的単調畳み込みを単位円板上の合成半群に関連付ける。
• j \to -\infty のときの $F_{\mu_{2^{-j}}}(z)$ の一意性および収束性を確立し、半群構造を保証する。
• 半群生成子および埋め込みを特徴付ける関数方程式 $\sigma(F_\mu(z)) = \sigma(z) + c$ を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの確率測度の自由加法的畳み込みは、常に正の絶対連続部を有し、局所解析的密度を持つのか？
• RQ2 自由加法的畳み込みの特異連続部がゼロとなる条件は何か？
• RQ3 任意の確率測度は一パrameter自由畳み込み半群に埋め込めるのか？
• RQ4 劣微分の文脈において、自由およびブール無限可分性の間に構造的関係は存在するか？
• RQ5 加法的または乗法的畳み込みに関して、単調的無限可分な測度は一パrameter半群に埋め込めるのか？

主な発見

• 任意の二つの確率測度の自由加法的畳み込みの絶対連続部は、正であり、局所解析的密度を持つ。
• 完全な台がなくてもやや弱い仮定の下で、自由加法的畳み込みの特異連続部はゼロである。
• 任意の確率測度は部分的に定義された一パrameter自由畳み込み半群に属する。
• 解析的劣微分および Denjoy-Wolff 定理を通じて、自由およびブール無限可分性の間の関係が確立された。
• 単調的加法的または乗法的畳み込みにおける無限可分な測度は、それぞれの畳み込みに関して一パrameter半群に属する。
• 乗法的単調的ケースは、コンformal 写像によって単位円板に還元され、Goryaĭnov および Cowen の結果により、合成半群への埋め込みが保証される。