[論文レビュー] Complex Lines with Restricted Angles

Aidan Roy|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、zonal多項式と線形代数を用いて、Delsarte, Goethals, Seidelの結果を再導出し、一般化することで、制限された内積角をもつ複素直線の集合の性質を調査する。コード、差集合、Cayleyグラフを用いた、相互に偏りのない基底（MUB）および等角直線の新たな構成が提示され、量子情報理論と組合せデザインの分野との関係が明らかにされ、高次元および部分空間への一般化に関する未解決問題が同定される。

ABSTRACT

This thesis is a study of large sets of unit vectors in $\cx^n$ such that the absolute value of their standard inner products takes on only a small number of values. We begin with bounds: what is the maximal size of a set of lines with only a given set of angles? We rederive a series of upper bounds originally due to Delsarte, Goethals and Seidel, but in a novel way using only zonal polynomials and linear algebra. In the process we get some new results about complex $t$-designs and also some new characterizations of tightness. Next we consider constructions. We describe some generic constructions using linear codes and Cayley graphs, and then move to two specific instances of the problem: mutually unbiased bases and equiangular lines. Both cases are motivated by problems in quantum computing, although they have applications in digital communications as well. Mutually unbiased bases are collections of orthonormal bases with a constant angle between vectors from different bases. We construct some maximal sets in prime-power dimensions, originally due to Calderbank, Cameron, Kantor and Seidel, but again in a novel way using relative difference sets or distance-regular antipodal covers. We also detail their numerous relations to other combinatorial objects, including symplectic spreads, orthogonal decompositions of Lie algebras, and spin models. Peripherally, we discuss mutually unbiased bases in small dimensions that are not prime powers and in real vector spaces. Equiangular lines are collections of vectors with only one angle between them. We use difference sets from finite geometry to construct equiangular lines: these sets do not have maximal size, but they are maximal with respect to having all entries of the same absolute value. We also include some negative results about constructions of maximal sets in large dimensions.

研究の動機と目的

• 複素数空間 $\mathbb{C}^n$ における複素直線の集合のうち、異なる内積角が少数であるような最大サイズを特定すること。
• zonal多項式と線形代数を用いて、$\mathbb{C}^n$ における $s$-距離集合の上界を再導出し、一般化すること。
• 代数的組合せ論と有限幾何学を用いて、最大の相互に偏りのない基底（MUB）および等角直線の集合を構成すること。
• MUB、等角直線、リー代数、スピンモデル、関連スキームの間の関係を調査すること。
• 非素数べき次元および高次の $s$-距離集合（$s \geq 3$）における未解決問題を同定すること。

提案手法

• zonal多項式と調和解析を用いて、複素空間における $s$-距離集合の上界を導出する。
• 重み付き隣接代数とグラム行列代数を用いて、制限された内積をもつ構成を分析する。
• 素数べき次元における相対的差集合および距離正則反対称被覆を用いて、相互に偏りのない基底を構成する。
• 有限幾何学からの差集合を用いて、絶対値が等しい内積をもつ等角直線を生成する。
• 単項群とCayleyグラフを用いて、制限された角度をもつ対称的構成を生成する。
• 基底ベクトルの構造とその軌道を分析することで、等角直線集合を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数空間 $\mathbb{C}^n$ における複素直線の集合で、絶対値内積が $s$ 種類の異なる値しかとらないような最大サイズは何か？
• RQ2 すべての $d$ に対して $\mathbb{C}^d$ に $d^2$ 個の等角直線が存在するか。また、それらは常に基底ベクトルの軌道によって得られるか？
• RQ3 $d$ が素数べきでないとき、$\mathbb{C}^d$ にいくつの相互に偏りのない基底が存在するか？
• RQ4 $s \geq 3$ の場合、既知の例以外の最大の $s$-距離集合を構成できるか？
• RQ5 MUBの高次元射影への一般化として、固定された重なりをもつ部分空間の最大集合が存在するか？

主な発見

• 本稿は、zonal多項式と線形代数を用いて、Delsarte-Goethals-Seidelの上界を再導出し、タイトな $t$-デザインの新たな特徴づけを導いた。
• 相対的差集合とシンプレクティックスプレッドを用いて、素数べき次元における最大の相互に偏りのない基底の集合を構成した。
• 差集合を用いた等角直線の構成により、絶対値内積が一様であるが、サイズの意味で最大とは限らない集合が得られた。
• 本稿は、$d=2,3,4,5,7,8,19,22,23,28$ のとき $\mathbb{C}^d$ に $d^2$ 個の等角直線が存在することを同定したが、$d=6$ の場合は存在しない。$d=6$ の場合の存在性は未解決のままである。
• 制限された角度をもつ構成のグラム行列は固有値制約を満たさなければならないことが示され、シュール積と固有値解析を用いたランクに基づく上界が得られた。
• 本稿は、すべての最大のMUB集合が単項群であるかどうかという未解決の問題を提起した。特に、非素数べき次元においてその可能性が問われる。