[論文レビュー] Complex Product Structures on Lie Algebras

Adrián Andrada, Simon Salamon|ArXiv.org|May 7, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、実リー代数に複素構造と積構造の対を導入し、それらが反交換することを仮定する。この構造が複素化された代数にハイパーコンプレックス構造を誘導することを示す。主な貢献は、積構造の±1固有空間における左対称代数（LSA）構造を用いた、このようなリー代数の特徴付けであり、平坦接続と二重リー代数分解を通じて代数幾何学とハイパーコンプレックス・ハイパーシミプレクティック多様体を結びつける。

ABSTRACT

A study is made of real Lie algebras admitting compatible complex and product structures, including numerous 4-dimensional examples. If g is a Lie algebra with such a structure then its complexification has a hypercomplex structure. It is shown in addition that g splits into the sum of two left-symmetric subalgebras. Interpretations of these results are obtained that are relevant to the theory of both hypercomplex and hypersymplectic manifolds and their associated connections.

研究の動機と目的

• 実リー代数に複素構造と積構造が反交換する形で共存するかを調査すること。
• 実リー代数の複素化におけるハイパーコンプレックス構造と複素積構造との間の対応関係を確立すること。
• 積構造の±1固有空間における左対称代数（LSA）構造を用いて、このようなリー代数を特徴付けること。
• 平坦で torsion-free な接続と複素積多様体を用いた幾何的解釈を考察すること。
• 4次元の明示的例を提示し、8次元の実形式における関連するハイパーコンプレックス構造を分類すること。

提案手法

• 実リー代数 g に複素構造 J と積構造 E を持つペア {J, E} を複素積構造と定義する。ここで J は複素構造、E は積構造であり、JE = -EJ を満たす。
• 複素化 g^C を用いて、(g^C)_R にクaternion的関係を満たす複素構造 I_θ と J を定義することで、ハイパーコンプレックス構造を構成する。
• E の固有空間への分解 g = g_+ ⊕ g_- において、g_- = Jg_+ が成り立つことから、同型写像 J を介して g_+ と g_- にそれぞれ左対称代数構造が誘導されることを示す。
• 関連するリー群 G に一意な torsion-free 接続 ∇^CP が存在し、それが J と E を保存し、T_± の積分部分多様体を平坦にする。
• 4次元の複素積リー代数から得られる8次元の実リー代数に対して、パラメータ θ に依存する複素構造 I_θ を用いて明示的なハイパーコンプレックス構造を構成する。
• 得られたハイパーコンプレックス構造の Obata 接続を用いて、∇^CP がハイパーコンプレックス多様体上の標準接続と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実リー代数における複素積構造は、その複素化におけるハイパーコンプレックス構造とどのように関係するか？
• RQ2 実リー代数が複素積構造をもつための代数的条件は何か？
• RQ3 積構造によるリー代数の2つの部分代数への分解は、左対称代数構造とどのように関連するか？
• RQ4 複素積構造を備えた関連するリー群にどのような幾何的構造が生じるか？
• RQ5 このような構造の4次元および8次元の明示的例はどのように構成され、分類されるか？

主な発見

• 複素積構造をもつ実リー代数は、その複素化の実基底代数にハイパーコンプレックス構造を誘導する。
• 複素積構造をもつリー代数の複素化は、この構成を繰り返すことで無限個のハイパーコンプレックス構造をもつ。
• 積構造 E の +1 および -1 固有空間は、両方とも左対称代数であるため、半単純にはなり得ない。
• 関連するリー群に一意な torsion-free 接続 ∇^CP が存在し、±1 固有分布を完全に実的かつ平坦にする。また、J および E と両方とも整合する。
• 4次元の複素積リー代数から得られる8次元の可解リー代数に対して、角度 θ に依存するパラメータ化された明示的なハイパーコンプレックス構造が構成される。
• 得られたハイパーコンプレックス構造の Obata 接続は ∇^CP と一致し、複素積幾何学とハイパーコンプレックス幾何学との直接的な関係を確立する。