[論文レビュー] Complexity of comparison of influence of players in simple games

Haris Aziz|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Game Theory and Applications参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、単純なゲームのプレイヤーの影響を、勝利コалиション、最小勝利コアリション、重み付き投票ゲーム（WVG）、複数重み付き投票ゲーム（MWVG）といった複数の表現形式で比較する際の計算複雑性を分析している。BanzhafおよびShapley-Shubikインデックスを計算することは、最小勝利コアリション表現に対しても#P完全であることが示され、MWVGでは線形性の検証がNP困難であることが明らかになり、コンactなゲーム表現からパワー指標を効率的に抽出する上での根本的な限界が浮き彫りになった。

ABSTRACT

Coalitional voting games appear in different forms in multi-agent systems, social choice and threshold logic. In this paper, the complexity of comparison of influence between players in coalitional voting games is characterized. The possible representations of simple games considered are simple games represented by winning coalitions, minimal winning coalitions, weighted voting game or a multiple weighted voting game. The influence of players is gauged from the viewpoint of basic player types, desirability relations and classical power indices such as Shapley-Shubik index, Banzhaf index, Holler index, Deegan-Packel index and Chow parameters. Among other results, it is shown that for a simple game represented by minimal winning coalitions, although it is easy to verify whether a player has zero or one voting power, computing the Banzhaf value of the player is #P-complete. Moreover, it is proved that multiple weighted voting games are the only representations for which it is NP-hard to verify whether the game is linear or not. For a simple game with a set W^m of minimal winning coalitions and n players, a O(n.|W^m|+(n^2)log(n)) algorithm is presented which returns `no' if the game is non-linear and returns the strict desirability ordering otherwise. The complexity of transforming simple games into compact representations is also examined.

研究の動機と目的

• 異なる表現形式における単純なゲームのプレイヤー影響の計算複雑性を同定すること。
• Banzhaf、Shapley-Shubik、Holler、Deegan-Packel、Chowパラメータといった主要パワーインデックスを、さまざまなゲーム表現形式で計算する際の tractability を調査すること。
• ダミー、独裁者、 vetoplayer の特定、ゲームの線形性や望ましさ順序の検証といった基本的演算の複雑性を同定すること。
• 単純なゲームをよりコンパクトな表現形式（例：WVG や MWVG）に変換する際の計算コストと、パワーインデックス計算に与える影響を検討すること。

提案手法

• Banzhaf値計算の難易度を示すために、既知の#P完全問題（例：頂点被覆の数え上げ、部分和問題）からの還元技術を用いる。
• 線形ゲームの場合に限って、最小勝利コアリション（Wm）表現によるゲームにおいてダミー、独裁者、Vetoプレイヤーを特定する多項式時間アルゴリズムを提示する。
• O(n.|Wm| + n²log(n)) 時間で、Wm表現されたゲームが線形かどうかを判定し、線形であれば厳密な望ましさ順序を返すアルゴリズムを設計する。
• 双対性およびスワップ耐性の性質を用いて、ゲームの構造的特徴とその計算的影響を分析する。
• Wm から W へのゲーム表現間の変換を用い、パワーインデックス計算における計算オーバーヘッドを評価する。
• 望ましさ関係（≻D、∼D、非比較可能）の形式的定義とその計算複雑性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲームが最小勝利コアリションによって表現される場合、プレイヤーのBanzhaf値を計算することは#P完全であるか？
• RQ2 複数重み付き投票ゲームが線形であるかどうかを検証する際の複雑度は何か？
• RQ3 最小勝利コアリション表現から、プレイヤーの厳密な望ましさ順序を効率的に計算できるか？
• RQ4 BanzhafやShapley-Shubikといったパワーインデックスの計算複雑度は、異なるゲーム表現形式によってどのように変化するか？
• RQ5 WVG や MWVG といったコンパクト表現形式に単純なゲームを変換する際の計算コストは何か？

主な発見

• 最小勝利コアリションによって表現される単純なゲームにおいて、プレイヤーのBanzhaf値を計算することは#P完全である。
• 複数重み付き投票ゲームが線形であるかどうかを検証することはNP困難であり、これはこの問題が唯一NP困難となる表現形式である。
• O(n.|Wm| + n²log(n)) 時間のアルゴリズムが存在し、ゲームが非線形であれば「no」と返し、線形であれば厳密な望ましさ順序を計算して返す。
• 最小勝利コアリション表現されたゲームにおいて、Banzhafインデックスを計算することはNP困難であり、同様にShapley-Shubikインデックスの計算も同じ表現形式下でNP困難である。
• 重み付き投票ゲーム（WVG）では、勝利コアリション総数の計算およびChowパラメータの計算が#P完全である。
• 最小勝利コアリション表現されたゲームにおいて、HollerおよびDeegan-Packelインデックスの計算は、ゲームが線形であってもNP困難である。