[論文レビュー] Computation of graphical derivatives of normal cone maps to conic constraints without nondegeneracy and PDC

Yulan Liu, Ying Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、非退化性や射影導出条件（PDC）を仮定せず、$C^2$-cone reducibleな円錐制約に対する正則および制限型正規写像の図形的導関数の正確な特徴付けを提供し、一般化方程式にこのような制約を含む解写像の孤立した滑らかさの分析を改善する。

ABSTRACT

This paper concerns with the graphical derivative of the regular and limiting normals to the conic constraint $g(x)\in\!K$, where $g\!:\mathbb{X} o\mathbb{Y}$ is a continuously differ entiable mapping and $K\subseteq\mathbb{Y}$ is a nonempty closed convex set assumed to be $C^2$-cone reducible. Such a generalized derivative plays a crucial role in characterizing isolated calmness of the solution maps to generalized equations whose multivalued parts are modeled via the regular or limiting normal to the set $\Gamma=g^{-1}(K)$. The main contribution of this paper is to provide an exact characterization for the graphical derivative of the regular and limiting normals to this class of nonconvex conic constraints,under an assumption without requiring the nondegeneracy of the reference point and the projection derivation condition (PDC) as the papers \cite{Mordu15,Mordu151} do.

研究の動機と目的

• 関数 $g(x) \in K$ で定義される円錐制約に対する正則および制限型正規写像の図形的導関数を特徴づけること。ここで $g$ は $C^1$ であり、$K$ は $C^2$-cone reducible である。
• 非退化性および射影導出条件（PDC）に依存しないようにすること。これらは、Mordukhovich (2015, 20151) らの先行研究において必要とされていた。
• 多価正規写像成分を含む一般化方程式の解写像における孤立した滑らかさのより強い分析を可能にすること。
• 一般化導関数理論の適用範囲を、非凸な円錐制約のより広いクラスに拡張すること。

提案手法

• 集合 $K \subseteq \mathbb{Y}$ の $C^2$-cone reducibility を活用し、正規錐写像の構造を分析する。
• 変分解析および一般化微分の道具を用いて、正則および制限型正規写像の図形的導関数を計算する。
• 最小限の制約条件の下で、図形的導関数の正確な表現を導出する。非退化性およびPDCの仮定を回避する。
• 制限型正規錐および正則正規錐を用いて、解写像の方向的挙動を特徴づける。
• 標準的な制約資格条件が成立しない状況において、多価写像の合成則および感度解析を応用する。
• 新しい仮定の下で、図形的導関数と正規写像のコデリバティブが等価であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化性を仮定しない場合、$C^2$-cone reducible な円錐制約に対する正則および制限型正規写像の図形的導関数はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 射影導出条件（PDC）が成立しない場合、正規写像の図形的導関数を計算するために十分な条件は何か？
• RQ3 非退化性よりも弱い仮定のもとで、一般化方程式の解写像の孤立した滑らかさは、図形的導関数を用いて特徴づけられるか？
• RQ4 $C^2$-cone reducibility を通じて、非凸な円錐制約の図形的導関数の正確な構造は何か？
• RQ5 非退化性が欠如している場合、一般化方程式における正規写像の感度解析にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 本稿は、$C^2$-cone reducible な円錐制約に対する正則および制限型正規写像の図形的導関数の正確な特徴付けを提供する。
• この特徴付けは、非退化性条件や射影導出条件（PDC）を仮定せず成立する。これらは、類似の解析において過去に必要とされていた。
• この結果により、正規写像を含む一般化方程式の解写像における孤立した滑らかさのより一般的な解析が可能になる。
• $C^2$-cone reducibility の仮定により、非凸な円錐制約の広いクラスに対して図形的導関数の表現が有効であることが示された。
• 一般化導関数理論の適用範囲が、標準的な制約資格条件が成立しない状況にも拡張された。
• このアプローチは、古典的仮定の範囲外にある複雑な円錐制約を有する最適化問題における感度解析の基盤を築く。