[論文レビュー] Computation of highly oscillatory Bessel transforms with algebraic singularities

Zhenhua Xu, Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、代数的特異性を有する高振動的ベッセル変換を、再帰関係を用いて修正モーメントを効率的に計算することで、高速かつ高精度に計算するClenshaw-Curtis-Filon法を提示する。固定された $\omega$ に対して $N$ における最適収束率を達成し、特異性の強さに応じて $O(N^{-k-1})$ または $O(N^{-2\min\{\alpha,\beta\}-k-2})$ の誤差境界を有する。また、$N$ に対して一様収束する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Clenshaw-Curtis-Filon method for the highly oscillatory Bessel transform $\int_0^1x^α(1-x)^βf(x) J_ν(ωx)dx$, where $f$ is a smooth function on $[0, 1]$, and $ν\geq0.$ The method is based on Fast Fourier Transform (FFT) and fast computation of the modified moments. We give a recurrence relation for the modified moments and present an efficient method for the evaluation of modified moments by using recurrence relation. Moreover, the corresponding error bound in inverse powers of $N$ for this method for the integral is presented. Numerical examples are provided to support our analysis and show the efficiency and accuracy of the method.

研究の動機と目的

• 両端点に代数的特異性を有する高振動的ベッセル変換の数値的計算の課題に対処すること。
• 特に $N \geq 32$ の場合に不安定になる、モーメント計算に多項式変換に依存する既存手法の不安定性を克服すること。
• 再帰関係を用いた安定的かつ効率的な修正モーメントの計算のためのアルゴリズムを開発すること。
• 積分に適用されたClenshaw-Curtis-Filon法の逆数の $N$ における厳密な誤差境界を確立すること。
• 固定された $\omega$ に対して $N$ に一様収束することを保証し、さまざまな振動周波数にわたる頑健性を確保すること。

提案手法

• ルンゲ現象を回避し安定性を確保するため、Clenshaw-Curtis点を用いた補間を行う。
• 滑らかな関数 $f(x)$ のための補間多項式 $P_N(x)$ を、シフトされたチェビシェフ多項式 $T_k^*(x)$ を用いて構築する。
• Clenshaw-Curtis-Filon (CCF) 積分公式を $Q^{CCF}[f] = \sum_{k=0}^N b_k M(k,\nu,\omega)$ と定義する。ここで $M(k,\nu,\omega)$ は修正モーメントである。
• 修正モーメント $M(k,\nu,\omega)$ のための4項再帰関係を導出し、高速かつ安定な計算を可能にする。
• $O(N\log N)$ 演算で補間係数 $b_k$ を効率的に計算するためにFFTを用いる。
• 多項式変換による不安定性を回避するため、再帰関係を用いて $M(k,\nu,\omega)$ を再帰的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両端点に代数的特異性を有する高振動的ベッセル変換を安定的かつ効率的に計算する手法を開発できるか？
• RQ2 修正モーメント $M(k,\nu,\omega)$ に存在する再帰構造は、高速かつ高精度な計算を可能にするか？
• RQ3 固定された $\omega$ に対して、ノード数 $N$ におけるClenshaw-Curtis-Filon法の収束速度はどのようになるか？
• RQ4 重み関数の滑らかさと特異性の強さは、手法の精度にどのように影響するか？
• RQ5 提案手法は固定された $\omega$ に対して $N$ における最適収束率を達成できるか？また、滑らかでない関数に対してもその境界は達成可能か？

主な発見

• 提案手法は固定された $\omega$ に対して $N$ における最適収束を達成し、$\min\{\alpha,\beta\} \geq -\frac{1}{2}$ の場合に $O(N^{-k-1})$、それ以外の場合は $O(N^{-2\min\{\alpha,\beta\}-k-2})$ の誤差境界を有する。
• 修正モーメントの再帰関係により、$N \geq 32$ の場合に多項式変換による不安定性を回避する安定的かつ効率的な計算が可能になる。
• 数値実験により理論的収束速度が確認された：$k=1$ では $O(N^{-2})$、$k=3$ では $O(N^{-4})$、$\alpha=0.2, \beta=0.4$ の場合。
• 滑らかさが限られた関数 $f(x) = |x-0.5|^k$ に対しても、$N$ における漸近的次数が予測通り達成され、誤差境界の妥当性が検証された。
• 固定された $\omega$ に対して $N$ に一様収束し、$ω$ が増加するに従い誤差が減少するため、高振動に対して頑健であることが示された。
• 本手法はClenshaw-Curtis点に基づくFilon型手法へ拡張可能であり、$\int_a^b f(x)(x-a)^\alpha(b-x)^\beta e^{i\omega x}dx$ の形の積分に適用可能である。