[논문 리뷰] Computation of Optimal Control Problems with Terminal Constraint via Variation Evolution

Sheng Zhang, Bo Liao외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 02.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 종단 제약 조건을 가진 최적 제어 문제를 해결하기 위해 변형 진화 방법(VEM)을 제안한다. 최적 해를 무한차원 동역학계의 평형 상태로 모델링함으로써, 비용 상태 없음 조건을 통한 비용 상태를 포함하지 않는 조건을 유도하여, 표준 적분기법을 사용한 초기값 상미분방정식 문제로의 반분할 이산화를 통해 수치적 해를 도출할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Enlightened from the inverse consideration of the stable continuous-time dynamics evolution, the Variation Evolving Method (VEM) analogizes the optimal solution to the equilibrium point of an infinite-dimensional dynamic system and solves it in an asymptotically evolving way. In this paper, the compact version of the VEM is further developed for the computation of Optimal Control Problems (OCPs) with terminal constraint. The corresponding Evolution Partial Differential Equation (EPDE), which describes the variation motion towards the optimal solution, is derived, and the costate-free optimality conditions are established. The explicit analytic expressions of the costates and the Lagrange multipliers adjoining the terminal constraint, related to the states and the control variables, are presented. With the semi-discrete method in the field of PDE numerical calculation, the EPDE is discretized as finite-dimensional Initial-value Problems (IVPs) to be solved, with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods.

연구 동기 및 목표

• 종단 제약 조건을 포함한 최적 제어 문제(OCPs)를 위한 컴act하고 효율적인 수치 계산 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비용 상태의 명시적 계산이 필요 없도록 하기 위해, 비용 상태 없음 최적성 조건을 수립하기 위해.
• 변형 진화를 통해 최적 해를 무한차원 동역학계의 평형 상태로 모델링하기 위해.
• 최적성으로의 점진적 수렴을 지배하는 진동 부분 미분방정식(EPDE)을 유도하고 해결하기 위해.
• EPDE의 반분할 이산화를 통해 유한차원 초기값 문제(IVPs)로 변환하여 수치적 해를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 최적 해를 연속 시간 동역학계의 평형 상태로 모델링함으로써, 종단 제약 조건이 있는 OCPs에 대해 변형 진화 방법(VEM)을 확장한다.
• 최적 해로의 변화 운동을 안정적이고 점진적으로 기술하기 위해 진동 부분 미분방정식(EPDE)을 유도한다.
• 비용 상태 없음 최적성 조건을 수립하여, 종단 제약 조건과 관련된 라그랑주 승수를 상태 및 제어 변수의 형태로 직접 계산할 수 있도록 한다.
• EPDE를 유한차분법 또는 유한요소법을 사용해 반분할 이산화하여, 초기값 문제(IVPs)의 체계로 변환한다.
• 표준 수치적 ODE 적분기법을 적용하여 유도된 IVP를 통합함으로써 최적 궤적의 실용적 계산을 가능하게 한다.
• 종단 제약 조건의 역학을 직접 진화 프레임워크에 통합함으로써, 두점 경계값 문제를 해결할 필요 없이 계산 절차를 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종단 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 어떻게 동역학계의 진화를 통해 평형 상태로 향하는 방식으로 재정의할 수 있는가?
• RQ2 최적성 조건에서 비용 상태 변수를 제거하면서도 최적 해로의 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ3 최적 해로의 변화 진화를 지배하는 진동 부분 미분방정식(EPDE)의 형태는 무엇인가?
• RQ4 표준 ODE 통합 기법을 사용하여 EPDE를 해를 구할 수 있는 초기값 문제로 반분할 이산화할 수 있는가?
• RQ5 명시적인 비용 상태 계산 없이 상태 및 제어 변수에 대해 종단 제약 조건의 라그랑주 승수와의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 종단 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 비용 상태 없음 최적성 프레임워크를 사용하여 성공적으로 재구성한다.
• 종단 제약 조건과 관련된 라그랑주 승수에 대한 명시적 해석 표현식이 상태 및 제어 변수의 형태로 도출된다.
• 진동 부분 미분방정식(EPDE)은 최적 해로 향하는 안정적이고 점진적인 동역학계를 제공한다.
• EPDE의 반분할 이산화를 통해 유한차원 초기값 문제(IVP)로 변환되며, 표준 ODE 수치 방법으로 해를 구할 수 있다.
• 이 방법은 두점 경계값 문제를 해결할 필요 없이 계산 절차를 단순화한다.
• 이론적 유도를 통해 검증되었으며, 기존의 수치적 PDE 및 ODE 해법과 호환됨을 보였다.