[論文レビュー] Computation of Transmission Eigenvalues for Elastic Waves

Xia Ji, Peijun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形的かつ非自己共役な4階問題である弾性波の最小の実数伝送固有値を計算するための新しい数値的手法を提示する。固有値問題を、その根が伝送固有値に対応する非線形関数に再定式化し、自己共役部分問題に対してH²連続な有限要素法を用いる。この手法では、根の計算にセカント反復法を採用し、収束性を証明するとともに、混合有限要素法を用いて結果の検証を行う。これは、弾性体伝送固有値に関する最初の包括的な数値的考察である。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop numerical methods computing a few smallest elasticity transmission eigenvalues, which are of practical importance in inverse scattering theory. The problem is challenging since it is nonlinear, non-self-adjoint, and of fourth order. We construct a nonlinear function whose values are generalized eigenvalues of a series of self-adjoint fourth order problems. The roots of the function are the transmission eigenvalues. Using an $H^2$-conforming finite element for the self-adjoint fourth order eigenvalue problems, we employ a secant method to compute the roots of the nonlinear function. The convergence of the proposed method is proved. In addition, a mixed finite element method is developed for the purpose of verification. Numerical examples are presented to verify the theory and demonstrate the effectiveness of the two methods.

研究の動機と目的

• 弾性波の最小の実数伝送固有値を効果的に計算する数値的手法の開発。これは逆散乱問題において物性の推定に不可欠である。
• 弾性波伝搬に生じる非線形的かつ非自己共役な4階固有値問題を解く課題に対処すること。
• その根が正確に伝送固有値に対応する非線形関数F(ω)を構築することにより、反復解法による根の探索を可能にすること。
• 結果の数値的信頼性を確保するため、代替の混合有限要素法を用いて結果の検証を行うこと。
• これまで数値的に未解決であった弾性体伝送固有値問題に対して収束性と頑健性を備えた計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 弾性体伝送固有値問題を4階偏微分方程式形式の2次固有値問題に再定式化する。
• その根が伝送固有値に一致する非線形関数F(ω)を構築する。F(ω)は、自己共役な4階問題の一般化固有値として定義される。
• H²連続なArgyris有限要素法を用いて、自己共役な4階固有値問題を離散化し、安定性と精度を確保する。
• F(ω)が強制的かつ自己共役な問題の一般化固有値であることに着目し、セカントに基づく反復法を用いてF(ω)の根を計算する。
• Lagrange要素を用いた混合有限要素法を構築し、主手法の結果を相互に検証するための検証ツールとする。
• 境界条件の取り扱いを注意深く行い、接線成分および法線成分の微分を用いて、境界上の応力自由および変位ゼロの条件と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形的かつ非自己共役な弾性体伝送固有値問題の数値的計算において、その性質をどのように克服できるか。
• RQ2 弾性波散乱における最小の実数伝送固有値を効果的かつ収束的に計算する有限要素法は何か。
• RQ3 その根が正確に伝送固有値に対応する非線形関数を構築できるか。これにより、標準的な反復解法による根の探索が可能になるか。
• RQ4 代替の有限要素法を用いて、計算された固有値の精度と信頼性をどのように検証できるか。
• RQ5 再定式化によって生じる一般化固有値問題に、提案されたセカント法が適用された際の収束挙動はいかなるものか。

主な発見

• 提案手法は、自己共役な4階固有値問題から導出された非線形関数に対するセカント法に基づく根の探索を用いて、弾性波の最小の実数伝送固有値を効果的に計算した。
• 非線形関数F(ω)が根の近傍で連続的かつ厳密に増加しているという仮定の下で、セカント法の収束性が厳密に証明された。
• H²連続なArgyris有限要素法は、自己共役な4階固有値問題に対して安定的かつ高精度な離散化を提供し、一般化固有値の信頼性ある計算を可能にした。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、さまざまな形状および材料パラメータにおいて本手法の頑健性と精度が示された。
• Lagrange要素を用いた混合有限要素法は、信頼性の高い検証手法を提供し、主手法の結果とよく一致する固有値が得られた。
• 複素平面上の|Z₀(ω)|の等高線図は、円形曲線の中心に伝送固有値が存在することを確認し、軸対称な場合の解析解と数値結果が整合していることを裏付けた。