[論文レビュー] Computation with Unitaries and One Pure Qubit

Dan Shepherd|ArXiv.org|Aug 17, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、1つの純粋なキュービットと高密度に混合された状態におけるユニタリ操作を用いた量子計算によって定義される複雑性クラス DQC1 を導入し、その分析を行う。トレース推定問題が DQC1 に完全であることを証明し、閉包性を確立し、相対化を用いた証拠により、DQC1 は BQP よりも厳密に弱いか、BPP よりも強い可能性があることを示唆し、その計算能力に関する予想を支持する。

ABSTRACT

We define a semantic complexity class based on the model of quantum computing with just one pure qubit (as introduced by Knill and Laflamme) and discuss its computational power in terms of the problem of estimating the trace of a large unitary matrix. We show that this problem is complete for the complexity class, and derive some further fundamental features of the class. We conclude with a discussion of some associated open conjectures and new oracle separations between classes.

研究の動機と目的

• 1つの純粋なキュービットと高密度に混合された状態におけるユニタリ操作を用いた量子回路の計算能力を捉える形式的複雑性クラス DQC1 を定義すること。
• トレース推定問題（大きなユニタリ行列のトレースを推定する問題）を標準的完全問題として特定することで、DQC1 の計算能力を調査すること。
• 相対化技術を用いて、P、BPP、BQP などの古典的複雑性クラスと DQC1 の関係を調査すること。
• DQC1 の限界と、古典的に困難な問題を指数的に高速に解ける可能性に関する予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 初期状態として1つの純粋なキュービットと残りが最大混合状態である密度行列を用いて DQC1 モデルを定義し、ユニタリ変換によって時間発展を記述する。
• 最終状態を、出力計算を符号化する係数 β を含む混合状態として表現し、最初のキュービットの測定によって β を推定する。
• 中心的な計算問題としてユニタリ行列のトレースを採用し、β の推定が Tr(U)/2^w の推定と同等であることを示す。
• 古典的オラクルをユニタリ置換行列として埋め込んだ DQC1 回路を用いて、相対化技術を適用し、計算能力を比較する。
• オラクルの変種間のトレース差の帰納的評価を用いて、BQ1P が P が区別できる特定のオラクルを区別できないことを示す。
• トレース推定誤差の定量的評価を導出し、BQ1P が多項式時間内にトレース差の指数的分離を達成できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きなユニタリ行列のトレースを推定する問題は、DQC1 複雑性クラスに完全であるか？
• RQ2 DQC1 は、特定のオラクルペアを区別するなど、古典的多項式時間アルゴリズムでは困難な問題を解けるか？
• RQ3 DQC1 は BPP よりも厳密に計算能力が強いのか、それともその中に含まれるのか？
• RQ4 DQC1 と BQP の関係は何か？相対化された分離がこの関係を支持できるか？
• RQ5 DQC1 回路の構造を用いて、特定の還元や閉包性に関する性質を証明できるか？

主な発見

• 大きなユニタリ行列のトレースを推定する問題は、DQC1 複雑性クラスに完全である。
• DQC1 回路は係数 β = Tr(UZ₁U†Z₁)/2^w を推定でき、これは最初のキュービットで '0' を測定する確率に相当する。
• DQC1 は特定のタイプの還元に関して閉包的であり、構造的頑健性を示している。
• 相対化を用いて、あるオラクル O が存在し、P^O ⊆ BQ1P^O でないことを示し、DQC1 が BQP よりも厳密に弱いかを示唆する。
• ランダムな置換オラクル U に対して、BQ1P はトレース推定を用いて U の性質を区別できるが、古典的 BPP は指数的多数のクエリを必要とするため、ほとんどすべてのこのようなオラクルに対して BQ1P^O ⊆ BPP^O でないことが示される。
• 2つの関連するユニタリ語間のトレース差は、多項式的な語長内では O(poly(w)) を超えて増大しないことが示され、トレース推定における指数的分離が不可能である。