[論文レビュー] Computational Approaches to Consecutive Pattern Avoidance in Permutations

Brian Nakamura|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、CAV Mapleパッケージに実装された、連続するパターンの集合を回避する順列を効率的に数える2つの計算アルゴリズムを提示する。最初のアルゴリズムは、パターン集合の強さのあるウィルフ同値性の十分条件を提供する。第二のアルゴリズムは、関数方程式を満たすクラスタテイル生成関数を導入し、単一のパターンに対する回避数の高速計算および漸近的近似を可能にする。

ABSTRACT

In recent years, there has been increasing interest in consecutive pattern avoidance in permutations. In this paper, we introduce two approaches to counting permutations that avoid a set of prescribed patterns consecutively. These algoritms have been implemented in the accompanying Maple package CAV, which can be downloaded from the author's website. As a byproduct of the first algorithm, we have a theorem giving a sufficient condition for when two pattern sets are strongly (consecutively) Wilf-Equivalent. For the implementation of the second algorithm, we define the cluster tail generating function and show that it always satisfies a certain functional equation. We also explain how the CAV package can be used to approximate asymptotic constants for single pattern avoidance.

研究の動機と目的

• 連続パターンの集合を回避する順列を効率的に計算する手法を開発すること。
• クラスタ構造に基づくパターン集合の強さのあるc-ウィルフ同値性の十分条件を提供すること。
• 関数方程式を満たすクラスタテイル生成関数を導入・特徴づけ、計算を高速化すること。
• 単一パターン回避における成長定数γとρの正確な漸近的近似を可能にすること。
• ウィルフ同値性および極値パターン行動に関する実験的探索と予想生成を支援すること。

提案手法

• 最初のアルゴリズムは、クラスタ分解を用いて、パターン集合間の強さのあるc-ウィルフ同値性の十分条件を導出する。
• 第二のアルゴリズムは、重複するパターンクラスタから導かれる関数方程式を満たすクラスタテイル生成関数を導入する。
• クラスタテイル生成関数の関数方程式を構成的に解き、指数的生成関数を効率的に計算する。
• CAV Mapleパッケージは両方のアルゴリズムを実装し、比分析を用いたα(n)の高速計算および漸近的近似を可能にする。
• 漸近的定数γとρは、AsymApproxおよびAsymApproxRank手順を用いて、連続するα(n)の値の比を用いて近似される。
• 理論的結果は、広範なパターン列挙に基づく実験的計算と予想生成によって裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、2つの連続パターン集合は強さのあるウィルフ同値性を示すか？
• RQ2 クラスタテイル生成関数の関数方程式を構成することで、パターン回避順列の計算を加速できるか？
• RQ3 単一の連続パターン回避における漸近的成長定数γとρは何か？ そして、それらを効率的に近似できるか？
• RQ4 固定されたパターン長において、どのパターンやパターン集合が回避数の最大値または最小値を示すか？
• RQ5 同じ長さのすべてのパターンは、強さのあるc-ウィルフ同値性か、まったく同値でないかのどちらかであるか？

主な発見

• 最初のアルゴリズムは、強さのあるc-ウィルフ同値性の十分条件を導くが、これはKhoroshkinとShapiroによって独立的に確認された。
• クラスタテイル生成関数は常に特定の関数方程式を満たし、回避数の効率的計算を可能にする。
• 長さ4のパターンでは、1342と1432で最小の回避数が得られ、ρ ≈ 0.9546となる。一方、1234では最大の回避数が得られ、ρ ≈ 0.9630となる。
• CAVパッケージは高精度の漸近的近似を可能にし、たとえばパターン1243に対してρ ≈ 0.9529およびγ ≈ 1.1697の近似値を得ている。
• 実験的証拠は、長さ6までに得られたデータに基づき、予想6を支持する：同じ長さのパターンでは、2つのパターンが強さのあるc-ウィルフ同値性であるか、まったく同値でないかのどちらかである。
• 本稿では、長さ3、4、5の単一パターンのc-ウィルフ同値性を完全に分類し、長さ6ではほぼ完全な分類を提供している。