[論文レビュー] Computational modelling of cardiac ischaemia using a variable-order fractional Laplacian

Megan E. Farquhar, Timothy J. Moroney+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、不整脈の鍵となる波再進入を、イオンモデルや刺激プロトコルを変更せずに、損傷組織における空間的に変化する分数階数による拡散の変化から生じさせることを目的として、モノドメインモデルに可変順数分数ラプラシアンを提案する。非構造格子上での効率的な行列関数法を用いることで、心筋虚血のシミュレーションを実現している。

ABSTRACT

Heart failure is one of the most common causes of death in the western world. Many heart problems are linked to disturbances in cardiac electrical activity, such as wave re-entry caused by ischaemia. In terms of mathematical modelling, the monodomain equation is widely used to model electrical activity in the heart. Recently, Bueno-Orovio et al. [J. R. Soc. Interface 11: 20140352, 2014] pioneered the use of a fractional Laplacian operator in the monodomain equation to account for the complex heterogeneous structures in heart tissue. In this work we consider how to extend this approach to apply to hearts with regions of damaged tissue. This requires the use of a fractional Laplacian operator whose fractional order varies spatially. We develop efficient numerical methods capable of solving this challenging problem on domains ranging from simple one-dimensional intervals with uniform meshes, through to full three-dimensional geometries on unstructured meshes. Results are presented for several test problems in one dimension, demonstrating the effects of different fractional orders in regions of healthy and damaged tissue. Then we showcase some new results for a three-dimensional fractional monodomain equation with a Beeler-Reuter ionic current model on a rabbit heart mesh. These simulation results are found to exhibit wave re-entry behaviour, brought about only by varying the value of the fractional order in a region representing damaged tissue.

研究の動機と目的

• 空間的に不均一な可変順数分数拡散を組み込むことで、虚血性心筋における電気的活動の精度を向上させること。
• 心臓シミュレーションで一般的に用いられる複雑な非構造格子3次元メッシュ上での可変順数分数ラプラシアンの解法における計算課題を解決すること。
• 密行列演算を回避する行列ベースの数値法を開発し、大規模3次元問題へのスケーラビリティを実現すること。
• 虚血性組織領域において、分数拡散のみが原因で波再進入—生命を脅かす不整脈と関連する現象—が生じるかどうかを調査すること。
• 既存の1次元結果と比較して妥当性を検証し、解剖学的に現実的なウサギ心臓メッシュを用いた3次元シミュレーションの妥当性を示すこと。

提案手法

• 健康組織（α=2）と虚血性組織（α<2）の間で空間的に変化する可変順数分数ラプラシアン作用素を定式化する。
• 境界条件が同次である有界領域における分数ラプラシアンのスペクトル定義を、固有関数展開を用いて定義する。
• 行列転送技法を用いて、標準的な離散ラプラシアン行列の関数として分数ラプラシアンを表現する。
• Krylov部分空間反復法（例：GMRES）を用いて、行列関数-ベクトル積を効率的に計算し、密行列の構築を回避する。
• オペレータ分割法と陰的時間積分法を用いて、Beeler-Reuter ionic モデルと可変順数分数モノドメイン方程式を統合する。
• 解剖学的モデルから抽出された非構造格子3次元メッシュおよび構造格子1次元メッシュ上で、システムを解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変順数分数ラプラシアンは、虚血性心筋における電気的伝導の変化を効果的に捉えることができるか？
• RQ2 虚血性組織領域でのみ分数階数が低下した場合、モノドメインモデルにおいて波再進入の挙動が自然に生じるか？
• RQ3 本稿で提案する数値法は、非構造格子上での既存の分数PDE解法と比較して、精度と効率の面で優れているか？
• RQ4 本手法は、3次元的で解剖学的に現実的な心臓幾何形状へ効率的に拡張可能か？
• RQ5 分数階数を変化させた場合、虚血領域における伝導速度と波frontの形状にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 本手法は、Cusimano (2016) が得た既存の1次元結果と一致し、その正確性と一貫性が検証された。
• 密行列因子分解の高コストを回避でき、1次元の大規模問題においても反復コストが良好にスケーリングされた。
• ウサギ心臓メッシュを用いた3次元シミュレーションでは、虚血領域の分数階数を α=1.7 に低下させた場合に波再進入が観察された一方、健康組織では α=2 のままだった。
• 再進入のメカニズムは、虚血領域での遅い伝導（α=1.7）に起因し、波が心室壁を周回した後に健康組織へ再進入する形で発生した。
• 虚血領域を逆行的に通過する伝導が観察され、これは単に分数拡散に起因する再進入パターンを示している。
• 結果として、空間的に変化する分数階数が、イオン電流モデルや刺激プロトコルを変更せずに、臨床的に重要な不整脈誘発現象を再現可能であることが示された。