[論文レビュー] Computational Notions of Quantum Min-Entropy

Yi-Hsiu Chen, Kai-Min Chung+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子の最小エントロピーの計算的概念を導入し、漏洩鎖則や密度モデル定理といった古典的概念を量子設定に拡張する。本稿では、ℓ量子ビットの漏洩に対して疑似エントロピーが最大ℓ量子ビットまで低下することを証明し、有界量子ストレージモデルにおける最初の量子漏洩れ耐性ストリーム暗号を構築し、古典的密度モデル定理が量子状態に一般化されないことを示している。

ABSTRACT

We initiate the study of computational entropy in the quantum setting. We investigate to what extent the classical notions of computational entropy generalize to the quantum setting, and whether quantum analogues of classical theorems hold. Our main results are as follows. (1) The classical Leakage Chain Rule for pseudoentropy can be extended to the case that the leakage information is quantum (while the source remains classical). Specifically, if the source has pseudoentropy at least $k$, then it has pseudoentropy at least $k-\ell$ conditioned on an $\ell$-qubit leakage. (2) As an application of the Leakage Chain Rule, we construct the first quantum leakage-resilient stream-cipher in the bounded-quantum-storage model, assuming the existence of a quantum-secure pseudorandom generator. (3) We show that the general form of the classical Dense Model Theorem (interpreted as the equivalence between two definitions of pseudo-relative-min-entropy) does not extend to quantum states. Along the way, we develop quantum analogues of some classical techniques (e.g. the Leakage Simulation Lemma, which is proven by a Non-uniform Min-Max Theorem or Boosting). On the other hand, we also identify some classical techniques (e.g. Gap Amplification) that do not work in the quantum setting. Moreover, we introduce a variety of notions that combine quantum information and quantum complexity, and this raises several directions for future work.

研究の動機と目的

• 量子最小エントロピーの計算的概念を形式化し、それが古典的設定から量子設定へ一般化されるかを評価すること。
• 疑似エントロピーに関する基礎的古典定理（例えば、漏洩鎖則や密度モデル定理）が、量子的状況下でも成り立つかを調査すること。
• 漏洩シミュレーション補題や非一様最小最大定理といった古典的手法の量子版を構築すること。
• 量子暗号安全擬似ランダム生成子を仮定して、有界量子ストレージモデル下で量子漏洩れ耐性ストリーム暗号を構築すること。
• 量子複雑度の根本的障壁、例えば量子ギャップ拡張の失敗や、量子密度モデル定理の不可能性を特定すること。

提案手法

• 古典的漏洩鎖則を量子漏洩に拡張し、古典的ソースが疑似エントロピーkを持つ場合、ℓ量子ビットの量子漏洩を条件付けたとき、少なくともk−ℓの疑似エントロピーを保つことを証明する。
• マトリックス乗法的重み更新（MMWU）法とトレース距離解析を用いて、漏洩シミュレーション補題の量子版を構築する。
• 量子漏洩鎖則を応用し、有界量子ストレージモデル下で量子漏洩れ耐性ストリーム暗号を構築する。
• 量子最小最大定理と、量子状態およびBPOVMのεネットによる確率的除去を用いて、漏洩シミュレーション補題を証明する。
• トレース距離とトレース保存量子操作を用いて、拡張的議論における区別可能性を制限する。
• 2量子ビット状態に対して、量子回路の出力と入力のテンソル積との間のトレース距離が0.002を超える反例を構築することで、量子ギャップ拡張の失敗を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的漏洩鎖則（疑似エントロピーについて）は、漏洩が量子的であってもソースが古典的である場合に、量子漏洩に拡張可能か？
• RQ2 2つの疑似相対最小エントロピーの定義を等価にする古典的密度モデル定理は、量子設定でも成り立つか？
• RQ3 漏洩シミュレーション補題や非一様最小最大定理といった古典的手法の量子版を、うまく構築できるか？
• RQ4 量子ギャップ拡張は可能か、それとも根本的な量子制約により失敗するか？
• RQ5 量子暗号安全擬似ランダム生成子を仮定して、有界量子ストレージモデル下で量子漏洩れ耐性暗号を構築できるか？

主な発見

• 古典的漏洩鎖則は量子漏洩に一般化される：古典的ソースが疑似エントロピーkを持つ場合、ℓ量子ビットの量子漏洩を条件付けたとき、少なくともk−ℓの疑似エントロピーを保つ。
• 量子暗号安全擬似ランダム生成子を仮定して、有界量子ストレージモデル下で量子漏洩れ耐性ストリーム暗号を構築した。
• 一般形の古典的密度モデル定理は、量子状態に一般化されない。トレース距離と量子回路を用いた反例によって示された。
• 量子ギャップ拡張は失敗する：2量子ビット状態と量子回路が存在し、その回路の出力と入力のテンソル積との間のトレース距離が0.002を超える。
• 漏洩シミュレーション補題は、マトリックス乗法的重み更新法と、量子状態およびBPOVMのεネットによる確率的除去を用いて証明された。
• ブースティングや非一様最小最大定理といった古典的手法の量子版は開発されたが、すべての古典的ツール（例：ギャップ拡張）が量子ドメインに一般化されるわけではない。