[論文レビュー] Computing Flowpipe of Nonlinear Hybrid Systems with Numerical Methods

Olivier Bouissou, Alexandre Chapoutot+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Real-time simulation and control systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、検証された数値積分と、離散的イベントを検出するための新規保証付き多項式補間法を用いて、非線形ハイブリッドシステムのフローパイプの保証付き上界近似を計算するHySonというツールを提示する。この手法により、複雑な非線形システムの正確で効率的な到達可能性解析が可能となり、Flow* や SpaceEx と比較して複数のベンチマークで優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

Modern control-command systems often include controllers that perform nonlinear computations to control a physical system, which can typically be described by an hybrid automaton containing high-dimensional systems of nonlinear differential equations. To prove safety of such systems, one must compute all the reachable sets from a given initial position, which might be uncertain (its value is not precisely known). On linear hybrid systems, efficient and precise techniques exist, but they fail to handle nonlinear flows or jump conditions. In this article, we present a new tool name HySon which computes the flowpipes of both linear and nonlinear hybrid systems using guaranteed generalization of classical efficient numerical simulation methods, including with variable integration step-size. In particular, we present an algorithm for detecting discrete events based on guaranteed interpolation polynomials that turns out to be both precise and efficient. Illustrations of the techniques developed in this article are given on representative examples.

研究の動機と目的

• 複雑な連続的ダイナミクスと非線形ジャンプ条件を有する非線形ハイブリッドシステムに対する、効率的で正確な到達可能性解析手法の不足に対処すること。
• 剛性、高次元性、またはカオス的ダイナミクスを示す系では失敗する線形化に基づく手法の限界を克服すること。
• モデルの単純化を必要とせず、線形および非線形ダイナミクスの両方をサポートする汎用ツールを開発すること。
• 非線形コントローラーと物理モデルを含む産業用制御命令系の安全な検証を可能にすること。

提案手法

• アフィン形式による集合表現を用いて、変動ステップサイズを伴う保証付き明示的ルンゲ＝クッタ積分を用いて、連続的軌道の上界近似を実行する。
• ヘルミート＝バーキホフ補間に基づく新規保証付き多項式補間を用いて、ゼロ交差イベント（離散的ジャンプ）を高精度に検出する。
• 交差演算のコストを回避するため、ジャンプ時刻のタイトな包摂を二分探索ベースのアルゴリズムで計算する。
• アフィン形式による状態集合の表現を採用し、精度を維持するとともに、効率的な算術演算と上界近似を可能にする。
• 各積分ステップで条件をチェックすることで、シミュレーションループ内に不変条件とガードの検出を統合する。
• 線形または多面体形式に制限された先行手法とは異なり、多項式および非多項式のダイナミクスとガードをサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン形式を用いた保証付き数値積分は、非線形ハイブリッドシステムに対して正確で効率的なフローパイプ計算を可能にするか？
• RQ2 保証付き多項式補間法は、非線形システムにおける離散的ジャンプの検出において、標準的な交差ベース手法を上回る性能を発揮するか？
• RQ3 代表的な非線形ハイブリッドシステムにおいて、HySonのパフォーマンスと精度は、Flow* や SpaceEx と比較してどうなるか？
• RQ4 線形化やモデルの単純化なしに、複雑でカオス的または剛性のあるダイナミクスを処理できるか？
• RQ5 同時に複数のゼロ交差イベントや論理和によるシステム動作を扱うことは可能か？

主な発見

• HySonは全テストベンチマークでFlow*を上回り、WaterTankでは4.35秒（Flow*は316.72秒）、Pendulumでは26.75秒（Flow*は119.94秒）の計算時間で実行された。
• Lorenz系では、ステップサイズを0.02に固定した状態で高い精度を達成したが、細かい分解能が必要なため計算時間が増加した。
• BrusselatorとVan-der-Pol系では、それぞれ14.3秒と16.2秒で到達可能性解析を完了した。これはFlow*の49.97秒と49.17秒よりも顕著に高速であった。
• バウンシングボールのようなカオス的システムに対しても、フローパイプの計算に成功し、極めて非線形的かつ感度の高いダイナミクスに対しても頑健であることを示した。
• Flow*がテイラー形式と多面体ガードに依存するため失敗する非多項式ガードとダイナミクス（例：円形ジャンプ条件を有するWolfgram例）に対しても、HySonは正常に処理できた。
• 線形ベンチマークにおいても、SpaceExと同等の精度を達成したため、線形系に対しても有効性が検証された。