[論文レビュー] Computing (or not) Quasi-Periodicity Functions of Tilings

Alexis Ballier, Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、先行研究における誤った主張を是正する。具体的には、唯一準周期的タイリングを許容するタイルセットが、再帰的に有界な準周期性関数をもつことがあるのを証明している一方で、どの準周期的タイリングの準周期性関数に対しても計算可能に有界でないタイルセットを構成している。有効な1次元サブシフトと符号化技術を用いて、このような無限大の可能性を確立し、タイリング力学と計算可能性理論における重要な問題を解決している。

ABSTRACT

We know that tilesets that can tile the plane always admit a quasi-periodic tiling [4, 8], yet they hold many uncomputable properties [3, 11, 21, 25]. The quasi-periodicity function is one way to measure the regularity of a quasi-periodic tiling. We prove that the tilings by a tileset that admits only quasi-periodic tilings have a recursively (and uniformly) bounded quasi-periodicity function. This corrects an error from [6, theorem 9] which stated the contrary. Instead we construct a tileset for which any quasi-periodic tiling has a quasi-periodicity function that cannot be recursively bounded. We provide such a construction for 1-dimensional effective subshifts and obtain as a corollary the result for tilings of the plane via recent links between these objects [1, 10].

研究の動機と目的

• 『[6, 定理9]』で主張された、唯一準周期的タイリングしか許容しない一部のタイルセットが、計算不能に有界な準周期性関数をもつという誤った主張を是正すること。
• 特に、唯一そのようなタイリングを許容するタイルセットにおいて、準周期的タイリングの準周期性関数が再帰的に有界であるかどうかを調査すること。
• 1次元有効サブシフトと2次元タイリングの間の関係を確立し、準周期性関数の有界性に関する結果を移行すること。
• すべての準周期的タイリングの準周期性関数が再帰的有界性を超えるようなタイルセットの存在を示すこと。

提案手法

• すべての均一再帰的配置が、与えられた部分再帰的関数 φ(n) に対して定義された点で、φ(n) を超える準周期性関数をもつ有効な1次元サブシフトを構成する。
• 2層構造を用いる：1層目は計算可能列 (u_n) を符号化し、2層目は φ(n) によって決定される間隔で1の周期的配置を強制することで、パターンの再現を遅らせる。
• 既知の1次元有効サブシフトから2次元SFT（有限型サブシフト）への符号化を適用し、準周期性および関数の成長を保持する。
• 部分再帰的関数の列挙を用いた対角線的反証により、φ(n) = φ_n(n) + 1 と定義することで、φ が計算可能に有界でないことを保証する。
• パターンの出現しないことの性質がco-再帰的効 enumerable であることを利用し、符号化における決定性の問題を回避すること。
• 1次元の場合への還元により、得られた2次元タイルセットにおける任意の準周期的タイリングの準周期性関数が再帰的に有界でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 唯一準周期的タイリングしか許容しないタイルセットの準周期性関数が再帰的に有界である可能性はあるか？
• RQ2 すべての準周期的タイリングの準周期性関数が計算可能に有界でないようなタイルセットが存在するか？
• RQ3 [6, 定理9] における主張――このような無限大のタイルセットが存在する――は正しいか、それとも誤りか？
• RQ4 有効な1次元サブシフトを用いて、準周期性関数が無限大となる2次元タイルセットを構成できるか？
• RQ5 再帰的効 enumerable 集合をタイリングパターンに符号化することは、ドミノ問題の決定性にどのような影響を及えるか？

主な発見

• この論文は、唯一準周期的タイリングしか許容しないタイルセットが、その準周期性関数を一様かつ再帰的に有界にできると証明し、『[6, 定理9]』における誤った主張を是正した。
• 任意の与えられた部分再帰的関数 φ(n) に対して、φ(n) が定義される点で、その関数を上回る準周期性関数をもつ有効な1次元サブシフトを構成した。
• この構成により、すべての準周期的タイリングの準周期性関数が再帰的に有界でない2次元タイルセットの存在が示された。
• 主な技術的洞察は、非計算可能関数 φ(n) によって決定される間隔に1を強制することで、1次元サブシフトにおける準周期性関数の再帰的有界性が不可能になることにある。
• 『[6, 定理9]』の構成に誤りがあると特定した：非再帰的集合 K を計算可能パターンサイズ g(i) で符号化すれば、K が決定可能になってしまうが、これは非再帰的性質に反する。
• ゆえに、『[6, 定理9]』の主張は誤っており、正しい結論は、このような無限大のタイルセットは存在するが、本研究で提示された別の有効な構成によってのみ達成可能であるということである。