[論文レビュー] Computing over the Reals: Foundations for Scientific Computing

Mark Braverman, Stephen Cook|ArXiv.org|Sep 14, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、実数上の計算のビットモデルを、科学的計算の厳密な基盤として確立し、代数的BSSモデルよりも実際の数値計算をよりよく捉えていると主張する。実数関数の計算可能性と決定可能集合の定義を有理数近似を用いて行い、BSSモデルにおける不決定性結果（例：マンデルブロ集合）が実際の計算制限を反映していない一方で、ビットモデルは連続問題における意味のある非計算可能性と計算複雑性理論を支持していることを示している。

ABSTRACT

We give a detailed treatment of the ``bit-model'' of computability and complexity of real functions and subsets of R^n, and argue that this is a good way to formalize many problems of scientific computation. In the introduction we also discuss the alternative Blum-Shub-Smale model. In the final section we discuss the issue of whether physical systems could defeat the Church-Turing Thesis.

研究の動機と目的

• コンピュータが実数を有理数近似によって実際に扱う方法を反映するビットモデルを用いて、実数上の計算可能性と計算複雑性を形式化すること。
• BSSモデルよりもビットモデルが科学的計算に適していると主張し、実際の数値計算と整合し、直感に反する不決定性結果を回避する点で優位であることを示すこと。
• 物理的系が非計算可能な関数を計算できるかどうかを検討し、非シミュレータブルな物理的過程が存在する可能性を踏まえて、チューリングの帰納法に挑戦すること。
• 数値シミュレーションを回避する可能性があるシステムにおける理論的計算困難さと物理的頑健性の違いを明確にすること。

提案手法

• あるアルゴリズムが入力の有理数近似から出力の有理数近似を計算できることで、実関数をビットモデルで計算可能と定義する。
• 有理数近似に基づく有界なR^nの部分集合についてのビット計算可能性の概念を用い、ある集合が、任意のズームと精度でスクリーン上に描けるプログラムがある場合に計算可能と定義する。
• ビットモデルとBSSモデルを比較し、BSSモデルにおける非計算可能性結果（例：e^x やコッホの积雪図形）が、正確な算術を仮定するモデルの性質ゆえに、実際の制限を反映していないことを強調する。
• 非シミュレータブルな力学的挙動を示す物理的系が、非計算可能な関数を計算できる可能性を検討し、チューリングの帰納法の文脈での分析を行う。
• 物理的系Aが、非計算可能な関数fを、2つの計算可能関数φとψを介して計算するフレームワークを導入する。ここで、φ(x) が状態σ_Tに進化し、ψ(σ_T) = f(x) となる。
• 初期状態の微小な摂動に対しても出力が高確率で正しく得られるという頑健性に基づいて、物理的系の計算能力を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビットモデルはBSSモデルよりも、科学的計算のより現実的で有用な基盤を提供できるか？
• RQ2 BSSモデルにおける不決定性結果（例：マンデルブロ集合）が、なぜ実際の計算制限を反映していないのか？
• RQ3 頑健でかつ数値的にシミュレートが困難な物理的系が存在する場合、拡張チューリングの帰納法に反する可能性はあるか？
• RQ4 物理的デバイスが微小な摂動に対して頑健である場合、非計算可能な関数を計算できるのか？ その場合、チューリングの帰納法にどのような意味があるか？

主な発見

• ビットモデルは、コンピュータが実数を有限の近似で扱うという事実を反映しているため、BSSモデルよりも科学的計算をより正確に形式化している。
• ビットモデルでは、e^x やコッホの積雪図形といった関数や集合が計算可能である一方、BSSモデルでは正確な算術に依存するため、それらは不決定的である。
• BSSモデルにおける不決定性結果（例：マンデルブロ集合が不決定的）は、実際の計算困難さを反映していない。これは、正確な計算を仮定する理想化された仮定に起因する。
• 物理的系Aが非計算可能な関数fを計算できる可能性があるのは、微小な摂動に対しても頑健である場合に限る。これにより、ノイズが存在してもψ(σ_T) = f(x) が高確率で成立する。
• このような頑健でシミュレート不能な系が存在するならば、拡張チューリングの帰納法に反するが、必ずしも元のチューリングの帰納法に反するわけではない。
• このような系が存在したとしても、意味のない関数しか計算できず、ハッキング問題やヒルベルトの10番目の問題といった古典的な難問を解くことはできない可能性がある。