[論文レビュー] Computing Topological Persistence for Simplicial Maps

Tamal K. Dey, Fengtao Fan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、単体写像の単調な列におけるトポロジカル・パーシステンスを単体の注釈を用いて効率的に計算するアルゴリズムを提示する。これにより、ジグザグの迂回を回避して直接計算が可能になる。主な貢献は、従来未解決であった、頂点の衝突を介した一貫性のあるコホモロジーおよびホモロジー基底の維持を可能にする新規な手法であり、特にグラフ誘導複体によるリプス複体のパーシステンスの近似といった応用において、単純なコーン化アプローチよりも優れた性能を達成する。

ABSTRACT

Algorithms for persistent homology and zigzag persistent homology are well-studied for persistence modules where homomorphisms are induced by inclusion maps. In this paper, we propose a practical algorithm for computing persistence under $\mathbb{Z}_2$ coefficients for a sequence of general simplicial maps and show how these maps arise naturally in some applications of topological data analysis. First, we observe that it is not hard to simulate simplicial maps by inclusion maps but not necessarily in a monotone direction. This, combined with the known algorithms for zigzag persistence, provides an algorithm for computing the persistence induced by simplicial maps. Our main result is that the above simple minded approach can be improved for a sequence of simplicial maps given in a monotone direction. A simplicial map can be decomposed into a set of elementary inclusions and vertex collapses--two atomic operations that can be supported efficiently with the notion of simplex annotations for computing persistent homology. A consistent annotation through these atomic operations implies the maintenance of a consistent cohomology basis, hence a homology basis by duality. While the idea of maintaining a cohomology basis through an inclusion is not new, maintaining them through a vertex collapse is new, which constitutes an important atomic operation for simulating simplicial maps. Annotations support the vertex collapse in addition to the usual inclusion quite naturally. Finally, we exhibit an application of this new tool in which we approximate the persistence diagram of a filtration of Rips complexes where vertex collapses are used to tame the blow-up in size.

研究の動機と目的

• 一般の単体写像に起因するフィルトレーションに対して、効率的なパーシステンス計算アルゴリズムを開発すること。
• マッピングシリンダーを用いたナーヴィなジグザグパーシステンスのシミュレーションの計算非効率性を克服し、大きな中間複体の構築を避けること。
• 注釈ベースの恒久的ホモロジー技法を、包含でも削除でもない操作である頂点の衝突に対しても拡張すること。
• 本手法が、グラフ誘導複体を用いた大規模リプス複体のパーシステンス図の近似にどのように有用であるかを示すこと。
• 非単調なまたは複雑な写像誘導フィルトレーションを含む、トポロジカル・データ解析ワークロードにおける実用的で効率的な実装を提供すること。

提案手法

• 本手法は、包含と頂点の衝突という基本的操作の列を用いて単体写像をシミュレートする。両方の操作は、単体の注釈を用いて効率的にサポートされる。
• 注釈は、これらの操作の間でも一貫したコホモロジー基底を維持する。双対性により、一貫したホモロジー基底も保証される。
• 頂点の衝突は注釈の更新により処理され、これは従来の手法が包含のみをサポートしていたのに対し、本研究の新規な貢献である。
• 本手法は、コーン化を用いたジグザグシミュレーションで生じるような大きな中間複体の構築を回避しており、ジグザグパーシステンスのシミュレーションと比較して、空間的・時間的オーバーヘッドを大幅に削減する。
• アルゴリズムは $\mathbb{Z}_2$ 係数上で動作し、注釈付き単体における二値行列演算のための効率的なデータ構造を活用する。
• 本手法は、元のフィルトレーションとインタリーブするグラフ誘導複体（GIC）を構築することで、リプス複体のパーシステンスの効率的近似に応用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包含写像に限らない一般の単体写像によって接続されたフィルトレーションに対し、恒久的ホモロジーを効率的に計算できるか？
• RQ2 包含でも削除でもない操作である頂点の衝突を、注釈ベースの恒久的ホモロジー計算に統合する方法は何か？
• RQ3 コーン化に基づくジグザグシミュレーションを回避することで、写像誘導フィルトレーションにおける計算コストを削減できるか？
• RQ4 単体写像に対して、ナーヴィなジグザグパーシステンスと比較して、直接注釈ベースのシミュレーションがどの程度の性能向上を達成できるか？
• RQ5 本手法により、グラフ誘導複体を用いて大規模リプス複体のパーシステンス図のスケーラブルな近似が可能になるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、包含写像と同等の $O(n^3)$ 時間で、包含でない写像を扱うにもかかわらず、単調な単体写像の下でのパーシステンス計算を実現している。
• 頂点の衝突が注釈フレームワークに成功裏に統合され、一貫したコホモロジー基底の維持が可能になった。これは、従来未解決であった課題であった。
• コーン化に基づくジグザグシミュレーションで生じるような大きな中間複体の構築を回避しており、空間的・時間的オーバーヘッドが顕著に削減されている。
• 本アルゴリズムにより、元のリプスフィルトレーションとインタリーブするグラフ誘導複体（GIC）を構築することで、リプス複体のパーシステンスの効率的近似が可能になった。
• 実験的結果から、GICは完全なリプス複体と比較してはるかに小さいサイズであることが示され、大規模なトポロジカル・データ解析において、空間と時間の間の実用的なトレードオフを提供している。
• SimpPers と呼ばれる効率的な実装が公開されており、既存のジグザグベースのアプローチと比較して実用的で顕著な性能向上を示している。