[論文レビュー] Computing voting power in easy weighted voting games

Haris Aziz, Mike Paterson|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2008

Game Theory and Voting Systems参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、重み付き投票ゲーム（WVG）におけるBanzhafインデックスを計算する多項式時間アルゴリズムを、特定の構造的制約（例えば、異なる重み値の数が有界である、または特別な重み分布である）の下で提示する。重み値の種類数が $k$ に有界である場合、Banzhafインデックスは $O(k(n/k)^k)$ 時間で計算可能であり、一般にNP困難であることが知られている問題に対して顕著な改善がなされる。

ABSTRACT

Weighted voting games are ubiquitous mathematical models which are used in economics, political science, neuroscience, threshold logic, reliability theory and distributed systems. They model situations where agents with variable voting weight vote in favour of or against a decision. A coalition of agents is winning if and only if the sum of weights of the coalition exceeds or equals a specified quota. The Banzhaf index is a measure of voting power of an agent in a weighted voting game. It depends on the number of coalitions in which the agent is the difference in the coalition winning or losing. It is well known that computing Banzhaf indices in a weighted voting game is NP-hard. We give a comprehensive classification of weighted voting games which can be solved in polynomial time. Among other results, we provide a polynomial ($O(k{(\frac{n}{k})}^k)$) algorithm to compute the Banzhaf indices in weighted voting games in which the number of weight values is bounded by $k$.

研究の動機と目的

• 一般にNP困難であるにもかかわらず、Banzhafインデックスの計算が tractable となる重み付き投票ゲームのクラスを同定すること。
• 異なる重みの数が有界である、整数重み、または特定の重み分布を持つWVGを多項式時間で解けるクラスに分類すること。
• 政治的制度、共同株式会社、信頼性理論などの実世界の応用において、投票パワーを効率的に計算するためのアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 重み値が $k$ 種類あるWVGに対して、重みグループごとの組み合わせ的列挙を活用して $O(k(n/k)^k)$ 時間で実行される多項式時間アルゴリズムを提案する。
• 母関数を用いて連合の数を符号化し、$\prod_{j \neq i} (1 + x^{w_j})$ の $x^k$ の係数が、プレイヤー $i$ を含まない重み $k$ の敗北連合の数を表すようにする。これによりBanzhafインデックスの計算が可能になる。
• 逐次的WVGに対して「代替優位性条件」を導入し、重みの大きいプレイヤーが小さいプレイヤーを支配するように保証することで、$O(n^2)$ 時間で計算可能となる。
• 中程度の整数重みを持つWVGに対して動的計画法を適用し、予算 $q$ が大きくない場合、$O(n^2 q)$ 時間の計算複雑性を達成する。
• 母関数のスパarsity（スパarsity）を分析し、非ゼロ係数の数 $C$ が $n$ に対して多項式的である場合、問題は多項式時間で解けることが示され、指数的重みに対しても成立する。
• 非対称的および逐次的WVGに関する先行結果を拡張し、優位性または代替優位性条件の下で多項式時間での解法が可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き投票ゲームにどのような構造的制約が課されると、一般にNP困難であるにもかかわらずBanzhafインデックスが多項式時間で計算可能になるか？
• RQ2 異なる重み値の数が定数 $k$ に有界である場合、Banzhafインデックスの計算の計算複雑性はどのようになるか？
• RQ3 非ゼロ係数の数が少ない場合、母関数アプローチが多項式時間アルゴリズムをもたらすことができるか、大きな重み値がある場合でも同様か？
• RQ4 逐次的WVGにおける優位性および代替優位性条件は、Banzhafインデックス計算の tractability にどのように影響するか？
• RQ5 一般のWVGに対して、以前の正確な手法の $O(n^2 2^{n/2})$ の境界を改善する多項式時間アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 重み値が $k$ 種類のWVGに対して、Banzhafインデックスは $O(k(n/k)^k)$ 時間で計算可能であり、$k$ が有界であれば多項式時間で実行可能である。
• 母関数における非ゼロ係数の数 $C$ が $n$ に対して多項式的である場合、Banzhafインデックスの計算は $P$ に属し、計算複雑性は $O(n^2 C)$ である。
• 代替優位性条件を満たすWVGは $O(n)$ 時間で解ける。これは、優位性順序付きWVGに関する先行結果を拡張するものである。
• 中程度の整数重み（$q$ が大きくない）を持つWVGに対しては、動的計画法により $O(n^2 q)$ 時間でBanzhafインデックスが計算可能である。
• 本研究では、非対称的、逐次的、$r$-幾何的WVGなど、Banzhafインデックスが多項式時間で計算可能なWVGの複数のクラスを同定した。
• 正確なBanzhafインデックス計算が tractable となるWVGの包括的な分類を提供し、政治的制度、共同株式会社、信頼性理論などの実世界応用に実用的なアルゴリズムを提供した。