[論文レビュー] Computing Wasserstein Distance for Persistence Diagrams on a Quantum Computer

Jesse Berwald, Joel M. Gottlieb+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、最小コスト二部マッチング問題をQUBO（二次無制約バイナリ最適化）問題として定式化することにより、パーシステンス図の間のウォッサーシュタイン距離を量子アニーリングで計算する手法を提案する。この手法は、マッチングタスクをD-Wave 2000Q量子プロセッサにマップし、小規模な図のサイズでは正しく二乗ウォッサーシュタイン距離を計算することを示したが、問題サイズが増加するにつれて埋め込み制約のため性能が低下する。

ABSTRACT

Persistence diagrams are a useful tool from topological data analysis which can be used to provide a concise description of a filtered topological space. What makes them even more useful in practice is that they come with a notion of a metric, the Wasserstein distance (closely related to but not the same as the homonymous metric from probability theory). Further, this metric provides a notion of stability; that is, small noise in the input causes at worst small differences in the output. In this paper, we show that the Wasserstein distance for persistence diagrams can be computed through quantum annealing. We provide a formulation of the problem as a Quadratic Unconstrained Binary Optimization problem, or QUBO, and prove correctness. Finally, we test our algorithm, exploring parameter choices and problem size capabilities, using a D-Wave 2000Q quantum annealing computer.

研究の動機と目的

• パーシステンス図の間のウォッサーシュタイン距離を計算するための量子コンputィング手法を開発すること。これはトポロジカルデータ解析における重要な指標である。
• ウォッサーシュタイン距離の背後にある最小コストマッチング問題を、量子アニーリングに適したQUBO形式に変換すること。
• D-Wave 2000Qプロセッサを用いて、実ハードウェア上でこの量子的手法の実現可能性と性能を評価すること。
• さまざまな問題サイズにおいて、QUBOの重要なパラメータBが解の品質と安定性に与える影響を分析すること。

提案手法

• ウォッサーシュタイン距離の計算は、2つのパーシステンス図間の点ペアを表すグラフG̃上で定義された最小コスト二部マッチング問題に還元される。
• 式3.5に示されるQUBOハミルトニアンHは、コスト項F_cと制約項F_U、F_Vを組み合わせて定式化される。
• QUBOは、その基底状態がウォッサーシュタイン距離に必要な最小コストマッチングに対応するように設計されている。
• パラメータB > B*（G̃における最大エッジ重み）である限り、最適解が正しいウォッサーシュタイン距離に対応することが保証される。
• この手法はD-Wave 2000Q量子プロセッサ上で実装・テストされ、Bの値や図のサイズの変化に応じた結果が分析された。
• 問題は論理キュービットを用いて符号化され、物理キュービットの鎖が論理変数を表しており、低エネルギー状態のサンプリングにより解の品質が評価された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーシステンス図のウォッサーシュタイン距離計算を、量子アニーリングに適したQUBO問題として効果的に定式化できるか？
• RQ2 QUBOにおけるペナルティパラメータBの選択が、量子解の正確性と安定性にどのように影響するか？
• RQ3 この手法を用いてD-Wave 2000Qが信頼性を持ってウォッサーシュタイン距離を計算できる最大の問題サイズは何か？
• RQ4 図のサイズとB値の増加に伴い、解の品質および低エネルギー状態の分布はどのように変化するか？
• RQ5 近い将来の量子プロセッサにおける性能に影響を与えるハードウェア的制限（例：キュービット鎖の破壊、埋め込み密度）は何か？

主な発見

• 小規模な問題（例：3×2図）では、D-Wave 2000Qが正しい最小コストマッチングに対応する低エネルギー状態を効率よく特定し、正解解の頻度が高かった。
• 理論的最小値であるB*にBを設定した場合、量子プロセッサは一貫して正しいウォッサーシュタイン距離を返した。これによりQUBO定式化の妥当性が検証された。
• B*を超えてBを大きくしても、小規模な問題では依然として正解解が得られた。これはペナルティパラメータのやや過大評価に対しても、手法が頑健であることを示している。
• 問題サイズが増加した（例：4×3図や6×5図）場合、埋め込みの複雑さが増加し、キュービット鎖の破壊の可能性が高まったため、解の品質が低下した。
• 論理変数を表す物理キュービットの数は、図のサイズに応じて顕著に増加した。特に問題グラフのノード次数が高いことが要因で、スケーラビリティが制限された。
• 結果から、量子アニーリングは小規模な図に対してウォッサーシュタイン距離を正確に計算可能であるが、キュービット鎖の破壊やキュービット接続性といったハードウェア制限により、スケーラビリティが制限されることが示唆された。