[論文レビュー] Concentrating Bound States for Kirchhoff type problems in ${\R^3}$ involving critical Sobolev exponents

Yi He, Gongbao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$\r^3$ 上のキルヒホッフ型方程式に対して、臨界ソボレフ成長（$u^5$）と局所的最小値をもつポテンシャル $V(z)$ を有する場合に、弱解の存在および濃縮を確立する。変分法、特にミニマックス定理とリュシュテルニク＝シュナイレルマン理論を用いて、$\varepsilon > 0$ が十分小さいとき、解は $V(z)$ の局所的最小値点の周囲に濃縮され、$V$ の最小値集合が非自明な位相的構造をもつ場合には複数の解が存在することが示される。

ABSTRACT

We study the concentration and multiplicity of weak solutions to the Kirchhoff type equation with critical Sobolev growth \[\left\{\begin{gathered} - \Bigl({\varepsilon ^2}a + \varepsilon b\int_{\R^3} {{{\left| { abla u} ight|}^2}} \Bigr)Δu + V(z)u = f(u) + {u^5}{ ext{in}}{\R^3}, \hfill u \in {H^1}({\R^3}),{ ext{}}u > 0{ ext{in}}{\R^3}, \hfill \\ \end{gathered} ight.\] where $\varepsilon $ is a small positive parameter and $a,b > 0$ are constants, $f \in {C^1}({\R^ +},\R)$ is subcritical, $V:{\R^3} o \R$ is a locally Hölder continuous function. We first prove that for ${\varepsilon_0} > 0$ sufficiently small, the above problem has a weak solution ${u_\varepsilon}$ with exponential decay at infinity. Moreover, ${u_\varepsilon}$ concentrates around a local minimum point of $V$ in $Λ$ as $\varepsilon o 0$. With minimax theorems and Ljusternik-Schnirelmann theory, we also obtain multiple solutions by employing the topology construct of the set where the potential $V\left(z ight)$ attains its minimum.

研究の動機と目的

• $\r^3$ 内の臨界非線形項 $u^5$ をもつキルヒホッフ型方程式に対する弱解の存在を確立すること。
• 小さなパラメータ $\varepsilon \to 0^+$ のときの解の濃縮挙動を、特にポテンシャル $V(z)$ の局所的最小値点との関係で調査すること。
• $V(z)$ が最小値をとる集合の位相的構造を活用して、複数の解の存在を証明すること。
• 3次元における臨界ソボレフ指数 $5$ に起因するコンパクト性の欠如を、洗練された変分的技法を用いて克服すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $J_\varepsilon(u) = \frac{\varepsilon^2 a}{2} \int_{\r^3} |\nabla u|^2 + \frac{\varepsilon b}{2} \left( \int_{\r^3} |\nabla u|^2 \right)^2 + \frac{1}{2} \int_{\r^3} V(z) u^2 - \int_{\r^3} F(u) - \frac{1}{6} \int_{\r^3} u^6$ を用いた変分的枠組み。
• $J_\varepsilon$ の臨界点を求めるために、ネハリ多様体および $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 上の制約付き最小化を用いる。
• $V$ が最小値をとる集合 $M_\delta \subset \Lambda$ に対してリュシュテルニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を適用し、複数の解を導出する。
• 一様な推定と濃縮・コンパクト性の議論を用いて、$J_\varepsilon$ が $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 上で $(P.S.)$ 条件を満たすことを証明する。
• スケーリングの変換を用いた濃縮の確立：$v_\varepsilon(z + y_n) \to \tilde{v}$ in $H^1(\r^3)$ かつ $\varepsilon y_n \to y \in M$（$V$ の最小値集合）。
• 濃縮・コンパクト性の原理と $|v_\varepsilon(z + y_n)|^6$ の一様可積分性を用いて、無限遠における消滅を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な $\varepsilon > 0$ のとき、$\r^3$ 内の臨界成長 $u^5$ をもつキルヒホッフ型方程式が弱解をもつための条件は何か？
• RQ2 解は $\varepsilon \to 0^+$ のときどのように濃縮するか？ また、ポテンシャル $V(z)$ との関係でどこに濃縮するか？
• RQ3 $V(z)$ が最小値をとる集合のどのような位相的性質が複数の解の存在をもたらすか？
• RQ4 大きなパrameter $\lambda$ が存在しない状況下でも、臨界成長 $u^5$ を取り扱えるか？ また、非局所項は解析にどのように影響を与えるか？
• RQ5 臨界成長と組み合わされた下位臨界非線形項 $f(u)$ は、解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、問題は少なくとも一つの弱解 $u_\varepsilon \in H^1(\r^3)$ をもつ。この解は無限遠で指数的減衰を示す。
• $\varepsilon \to 0^+$ のとき、$u_\varepsilon$ は $\Lambda$ 内の $V(z)$ の局所的最小値点の周囲に濃縮され、$\varepsilon y_n \to y \in M$（最小値点の集合）を満たす。
• 弱解の数は、$V$ が最小値をとる集合 $M_\delta \subset \Lambda$ のリュシュテルニク＝シュナイレルマンカテゴリーによって下から抑えられる。
• 解のエネルギー水準は、$\varepsilon \to 0^+$ のとき、ネハリ多様体上でのエネルギー汎関数の下限 $c_{V_0}$ に収束する。
• 十分に小さい $\varepsilon$ に対して、$J_\varepsilon$ は $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 上で $(P.S.)$ 条件を満たし、ミニマックス法により臨界点の存在が保証される。
• スケーリングされた列 $v_\varepsilon(z + y_n)$ は $H^1(\r^3)$ 内で $0$ でない非自明な極限 $\tilde{v} \in H^1(\r^3) \setminus \{0\}$ に強く収束する。これにより濃縮が確認される。