[論文レビュー] Concentration inequalities for disordered models

Frédérique Watbled|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不純なピン留めモデルおよびランダム環境中の指向的高分子の自由エネルギーに対して、マーティングル差分の一般化されたホーフディング不等式を用いて指数的集中不等式を確立する。最小限のモーメント仮定（不純性の有限指数モーメント）のもとで、ガウス分布やログソボレフ不等式の仮定なしに、自由エネルギーがその平均のまわりにきわめて集中することを示し、高分子の終点位置に対する鋭い大偏差をもたらす。

ABSTRACT

We use a generalization of Hoeffding's inequality to show concentration results for the free energy of disordered pinning models, assuming only that the disorder has a finite exponential moment. We also prove some concentration inequalities for directed polymers in random environment, which we use to establish a large deviations results for the end position of the polymer under the polymer measure.

研究の動機と目的

• ガウス性やログソボレフ不等式といった強い仮定を必要としない、不純なピン留めモデルおよび指向的高分子の自由エネルギーに対する集中不等式の確立。
• 不純性に有限指数モーメントしか仮定しない不純系におけるマーティングル差分列に対して、ホーフディング型不等式の拡張。
• 高分子測度下での指向的高分子の終点位置に対する大偏差原理の導出。自由エネルギーの集中を用いる。
• 不純自由エネルギーが、不純性の弱いモーメント条件のもとで指数的尾部境界を有する自己平均的性質を示すこと。

提案手法

• 自由エネルギーのモーメント生成関数を制御するために、マーティングル差分のためのホーフディングの不等式の一般化を用いる。
• 対数分配関数 $ \ln Z_n $ に対する指数モーメントの境界を適用し、$ t \in [0,1] $ に対して $ \mathbb{E} \exp(\pm t(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n)) \leq \exp(nKt^2) $ を示す。ここで $ K $ は $ \beta $, $ h $, および $ \eta $ のモーメント生成関数に依存する。
• 自由エネルギーの極限の存在を示すために、$ Y_n $ を $ nx $ の近傍のチューブ上の経路に関する重み付き期待値とするとき、$ \mathbb{E} \ln Y_n $ の超加法性を確立する。
• ラプラス法と変分解析を用いて、高分子終点の大偏差を支配するレート関数 $ I_\beta(x) = \sup_{\lambda > 0} \left( p(\beta) - \phi_\lambda(x) \right) $ を導出する。
• ボレル＝カンテリの補題と $ L^p $ でのほとんど確実収束を用い、$ \frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} \to L_\beta(x,\varepsilon) $ が almost surely かつ $ L^p $ で成り立つことを示す。
• レート関数を極限 $ I_\beta(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \mathbb{E} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} + p(\beta) $ として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不純性に有限指数モーメント条件しか課さない場合、ガウス性やログソボレフ不等式の仮定なしに、不純系における自由エネルギーの測度集中が確立可能か？
• RQ2 最小限のモーメント条件下で、$ \frac{1}{n}(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n) $ の正確な尾部挙動は何か？
• RQ3 自由エネルギーの集中が、高分子測度下での指向的高分子の終点位置に対する大偏差をどのように導くか？
• RQ4 高分子終点のための大偏差レート関数は何か？また、不純自由エネルギーおよびモーメント生成関数とどのように関係しているか？

主な発見

• 自由エネルギー $ \frac{1}{n} \ln Z_n $ は、$ x \in (0, 2K] $ に対して $ \mathbb{P}\left( \left| \frac{1}{n}(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n) \right| > x \right) \leq \exp\left( -\frac{n x^2}{4K} \right) $、$ x > 2K $ に対して $ \exp(-n(x - K)) $ を満たす指数的集中境界を満たす。ここで $ K = 2 \max(e^{h + \lambda(\beta)}, 1) \times \max(e^{-h + \lambda(-\beta)}, 1) $ である。
• 自由エネルギーのモーメント生成関数は、すべての $ t \in [0,1] $ に対して $ \mathbb{E} \exp(\pm t(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n)) \leq \exp(nKt^2) $ で有界であり、弱いモーメント条件のもとできわめてきつい集中を示す。
• 高分子終点 $ S_n $ の大偏差レート関数は $ I_\beta(x) = \sup_{\lambda > 0} \left( p(\beta) - \phi_\lambda(x) \right) $ で与えられ、単位球 $ B_d $ 上で凸かつ下方連続である。
• 極限 $ \frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} \to L_\beta(x,\varepsilon) $ は、すべての $ p \geq 1 $ に対して almost surely かつ $ L^p $ で存在する。ここで $ L_\beta(x,\varepsilon) = l_\beta(x,\varepsilon) - p(\beta) $ であり、$ l_\beta(x,\varepsilon) $ は $ \frac{1}{n} \mathbb{E} \ln Y_n $ の極限である。
• レート関数 $ I_\beta(x) $ は $ \varepsilon \to 0 $ のときの $ L_\beta(x,\varepsilon) $ の極限であり、$ \mathbb{P}\text{-a.s.} \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n e^{-\lambda \|S_n - x_n\|_1} = p(\beta) - \phi_\lambda(x) $ を満たす。ただし $ x_n/n \to x $ である。