[論文レビュー] Concerning the dual group of a dense subgroup

W. W. Comfort, S. U. Raczkowski+1 more|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、稠密部分群が双対なホモトピーをホメオモルフィズムにする場合に、その群が『決定可能』であるとされる位相的アーベル群の概念を調査する。主な貢献は、すべての可度量化可能な群が決定可能であることを証明し、さらに非可度量化可能で非コンパクトな群も決定可能であることを示したことである。一方、非可度量化可能で非コンパクトな群は決定可能でない。また、ボールト位相、双対性、および基数不変量の間の関係を確立し、特に決定可能性と基数 non(𝒩) の関連を特定する。

ABSTRACT

Throughout this Abstract, $G$ is a topological Abelian group and $\hat{G}$ is the space of continuous homomorphisms from $G$ into $T$ in the compact-open topology. A dense subgroup $D$ of $G$ determines $G$ if the (necessarily continuous) surjective isomorphism $\hat{G} woheadrightarrow \hat{D}$ given by $h\mapsto h|D$ is a homeomorphism, and $G$ is determined if each dense subgroup of $G$ determines $G$. The principal result in this area, obtained independently by L. Aussenhofer and M. J. Chasco}, is the following: Every metrizable group is determined. The authors offer several related results, including these. (1) There are (many) nonmetrizable, noncompact, determined groups. (2) If the dense subgroup $D_i$ determines $G_i$ with $G_i$ compact, then $\oplus_i D_i$ determines $Π_i G_i$. In particular, if each $G_i$ is compact then $\oplus_i G_i$ determines $Π_i G_i$. (3) Let $G$ be a locally bounded group and let $G^+$ denote $G$ with its Bohr topology. Then $G$ is determined if and only if ${G^+}$ is determined. (4) Let $non(N)$ be the least cardinal $κ$ such that some $X \subseteq T}$ of cardinality $κ$ has positive outer measure. No compact $G$ with $w(G)\geq non(N)$ is determined; thus if $non(N)=\aleph_1$ (in particular if CH holds), an infinite compact group $G$ is determined if and only if w(G)=ω$. Question. Is there in ZFC a cardinal $κ$ such that a compact group $G$ is determined if and only if $w(G)

研究の動機と目的

• 双対性を通じて、稠密部分群によって『決定可能』であるとされる位相的アーベル群を同定すること。
• 特に局所有界群およびコンパクト群において、ボールト位相と群の決定性との関係を調査すること。
• コンパクト群が決定不能に転じる基数的閾値（non(𝒩)）を特定すること。
• 任意の無限大の基数 κ が存在し、コンパクト群 G が決定可能であることと w(G) < κ が同値であるようなものかどうかを検討すること。
• 群の無限大積および直和における決定性の保存性を検討すること。

提案手法

• 群 G の特性群 $\widehat{G} = \mathrm{Hom}(G, \mathbb{T})$ にコンパクト開位相を導入し、双対性を定義し、稠密部分群 $D \leq G$ が $\widehat{G} \to \widehat{D}$ にホメオモルフィズムを誘導する条件を特定する。
• すべての可度量化可能な群が決定可能であるという Außenhofer-Chasco 定理を基礎的結果として用いる。
• 群 G のボールト位相 $G^+$ を分析し、G が決定可能であることと $G^+$ が決定可能であることが同値であることを示す。
• 群 $\mathbb{T}$ と $F^\omega$ 間のボレル同型定理を用い、基数 $\mathrm{non}(\mathcal{N}(\mathbb{T}))$ と $\mathrm{non}(\mathcal{N}(F^\omega))$ が等価であることを示す。
• 外測度が正である $\mathbb{T}$ の部分集合の最小基数である $\mathrm{non}(\mathcal{N})$ などの基数不変量を用い、決定不能なコンパクト群の重みを上界で制限する。
• 特に $\mathrm{non}(\mathcal{N}) = \aleph_1$ であるモデルにおいて、集合論的位相幾何学および測度論の結果を応用し、一貫性および独立性に関する結果を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可度量化可能で非コンパクトな決定可能な位相的アーベル群は存在するか？
• RQ2 各 $D_i$ がコンパクト群 $G_i$ を決定するとき、$\oplus_i D_i$ は $\Pi_i G_i$ を決定するか？
• RQ3 コンパクト群 $G$ が決定可能であることと $w(G) < \kappa$ が同値であるような基数 $\kappa$ が存在するか？
• RQ4 ZFC において、群 $\mathbb{T}^{\aleph_1}$ および $F^{\aleph_1}$（$|F| > 1$ である有限群 $F$）は決定不能であるか？
• RQ5 有限個の決定可能な群の積は、必然的に決定可能か？

主な発見

• 非可度量化可能で非コンパクトな決定可能な位相的アーベル群が存在する。
• 各稠密部分群 $D_i$ がそのコンパクト群 $G_i$ を決定するならば、$\oplus_i D_i$ は $\Pi_i G_i$ を決定する。特に、すべての $G_i$ がコンパクトであるとき、$\oplus_i G_i$ は $\Pi_i G_i$ を決定する。
• 位相的アーベル群 $G$ が決定可能であることと、そのボールト位相 $G^+$ が決定可能であることは同値である。
• 重み $w(G) \geq \mathrm{non}(\mathcal{N})$ である任意のコンパクト群 $G$ は決定可能でない。
• $\mathrm{non}(\mathcal{N}) = \aleph_1$ ならば、無限大のコンパクト群 $G$ が決定可能であることと $w(G) = \omega$ であることは同値である。
• 任意の群 $G$ が決定可能であることと $w(G) < \kappa$ が同値であるような基数 $\kappa$ の存在は ZFC と整合的であり、$\kappa = \mathrm{non}(\mathcal{N})$ が候補ではあるが、ZFC では証明できない。