[論文レビュー] Conditions for a real polynomial to be sum of squares

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2006

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、変数の拡張や補助変数を用いずに、実係数多項式が二乗和（s.o.s.）であるための明示的かつ係数のみに依存する条件を提供する。主な貢献は、次数が高々2dであるs.o.s.多項式の凸多面体的部分錐を、係数に関する単純な代数的不等式によって完全に特徴づけたものであり、s.o.s.に属するかどうかを直接検証可能である。

ABSTRACT

Abstract. We provide explicit conditions for a polynomial f of degree 2d to be a sum of squares (s.o.s.), stated only in terms of the coefficients of f, i.e. with no lifting. All conditions are simple and provide an explicit description of a convex polyhedral subcone of the cone of s.o.s. polynomials of degree at most 2d. We also provide a simple condition to ensure that f is s.o.s., possibly modulo a constant. 1.

研究の動機と目的

• 次数2dの実多項式が二乗和（s.o.s.）であるための明示的かつ係数のみに依存する条件を導出すること。
• 次数が高々2dであるs.o.s.多項式の集合の凸多面体的部分錐を、多項式の係数のみを用いて記述すること。
• 多項式がs.o.s.であるかどうかを、定数倍を除いてもよいという条件下で、係数のみに依存する単純な基準により決定できるようにすること。
• 変数の拡張や半正定値計画法を回避し、s.o.s.条件を係数の代数的制約として純粋に代数的に表現すること。

提案手法

• 多項式の係数に関する線形不等式系を構築する方法であり、二乗和表現の構造から導出される。
• 多項式が二乗和であるための必要十分条件が、関連するヘンケル行列が半正定値であることであることに着目し、この条件を係数に関する不等式に変換する。
• 変数の拡張を避けるために、係数そのものの正定値性条件を直接表現し、結果として得られる集合が凸多面体的錐であることを保証する。
• 多項式をモナミアルの二次形式として表現し、その形式が半正定値であるための必要十分条件を係数ベクトルに適用する。
• 係数構造に暗黙的に埋め込まれた高階のモーメント制約を考慮することで、より厳しい条件の階層を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数2dの実多項式が二乗和（s.o.s.）であるかどうかを決定する明示的かつ係数ベースの条件は何か？
• RQ2 次数が高々2dであるs.o.s.多項式の集合を、多項式の係数のみを用いて凸多面体的錐として記述できるか？
• RQ3 変数の拡張や半正定値計画法を用いずに、係数に関する代数的制約のみを用いてs.o.s.に属するかどうかを検証できるか？
• RQ4 多項式が定数倍を除いてs.o.s.であることを保証する単純な条件は、係数のみに依存してどのように定式化できるか？

主な発見

• 本稿は、次数が高々2dであるs.o.s.多項式の集合の凸多面体的部分錐を、係数に関する線形不等式によって完全に特徴づけた。
• s.o.s.に属するかどうかのすべての条件が、変数の拡張や半正定値計画法を用いずに、多項式の係数のみで明示的に表現されている。
• 本手法により、多項式がs.o.s.であるための十分条件が得られ、これは係数ベクトルから直接計算可能であり、単純である。
• 特徴づけには、多項式が定数倍を除いてs.o.s.であるかどうかを判定する基準が含まれており、再び係数制約に基づく。