[論文レビュー] Conditions for Convergence of Dynamic Regressor Extension and Mixing Parameter Estimator Using LTI Filters

Bowen Yi, Roméo Ortega|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Control Systems and Identification参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、DREMパラメータ推定器の収束条件を、線形時不変（LTI）フィルタを用いて拡張回帰ベクトルを生成する場合に確立する。恒常的励起（PE）が元の回帰ベクトルに存在する場合、DREMスカラ回帰ベクトルに対してもPEが保たれ、指数的収束が保証されることが証明される。また、区間励起（IE）の場合もIE性質が保たれ、DREMにおける有限時間収束が可能になる。これらの結果はほとんど確実な意味で証明されている。

ABSTRACT

In this note we study the conditions for convergence of recently introduced dynamic regressor extension and mixing (DREM) parameter estimator when the extended regressor is generated using LTI filters. In particular, we are interested in relating these conditions with the ones required for convergence of the classical gradient (or least squares), namely the well-known persistent excitation (PE) requirement on the original regressor vector, $ϕ(t) \in \mathbb{R}^q$, with $q \in \mathbb{N}$ the number of unknown parameters. Moreover, we study the case when only interval excitation (IE) is available, under which DREM, concurrent and composite learning schemes ensure global convergence, being the convergence for DREM in finite time. Regarding PE we prove that, under some mild technical assumptions, if $ϕ(t)$ is PE then the scalar regressor of DREM, $Δ(t) \in \mathbb{R}$, is also PE, ensuring exponential convergence. Concerning IE we prove that if $ϕ(t)$ is IE then $Δ(t)$ is also IE. All these results are established in the almost sure sense, namely proving that the set of filter parameters for which the claims do not hold is of zero measure. The main technical tool used in our proof is inspired by a study of Luenberger observers for nonautonomous nonlinear systems recently reported in the literature.

研究の動機と目的

• 拡張回帰ベクトルがLTIフィルタを用いて生成される場合のDREMパラメータ推定器の収束条件を確立すること。
• 勾配推定器および最小二乗推定器が要請する古典的恒常的励起（PE）条件と、DREMの収束特性との関係を明らかにすること。
• 元の回帰ベクトルにのみ区間励起（IE）が存在する場合の解析を行い、DREMがグローバル収束を保証するかを同定すること。
• やや厳しい技術的仮定のもとで、DREMスカラ回帰ベクトルが元の回帰ベクトルのPEまたはIE性質を引き継ぐことを証明すること。
• ほとんど確実な意味で収束結果を確立し、収束に失敗するフィルタパラメータ値の集合が零測度であることを示すこと。

提案手法

• DREM推定器を非自律的非線形システムに対するルエンバーガー観測器として再定式化し、近年の同種のシステムに対するルエンバーガー観測器に関する結果を活用する。
• 元の回帰ベクトルφ(t)にLTIフィルタを適用して拡張回帰ベクトルΦ(t)を生成し、単射性を確保するためフィルタ数をq+1に設定する。
• パラメータ推定誤差ダイナミクスは行列Φᵀ(t)Φ(t)を介して分析され、収束は得られるスカラ回帰ベクトルΔ_N(t)の性質を通じて検討される。
• 証明技法は、非自律的非線形システムに対するルエンバーガー観測器の最近の研究に基づき、DREMの時変線形誤差ダイナミクスに適応したものである。
• 収束に失敗するフィルタパラメータ値の集合がLebesgue測度ゼロであることを示すことにより、ほとんど確実な収束を確立する。
• 恒常的励起（PE）と区間励起（IE）のケースを区別して分析し、DREMスカラ回帰ベクトルにおいてもPEおよびIE性質が保たれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の回帰ベクトルφ(t)にどのような条件下で、LTIフィルタを用いたDREM推定器は指数的収束を達成するか？
• RQ2 元の回帰ベクトルφ(t)がPEを満たす場合、DREMスカラ回帰ベクトルΔ_N(t)もPE性質を有するか？
• RQ3 元の回帰ベクトルにのみ区間励起（IE）が存在する場合、DREM推定器はグローバル収束を保証できるか？
• RQ4 φ(t)がIEを満たす場合、スカラ回帰ベクトルΔ_N(t)もIEを満たすか？ そして、これはDREMにおけるパラメータ誤差の有限時間収束をもたらすか？
• RQ5 収束の主張に失敗するフィルタパラメータ値の測度は何か？ そして、それはどのように確立されるか？

主な発見

• 元の回帰ベクトルφ(t)が恒常的励起（PE）である場合、やや厳しい技術的仮定のもとで、DREMスカラ回帰ベクトルΔ_N(t)もPEを満たし、パラメータ推定値の指数的収束が保証される。
• PE下でのDREM推定器の収束は、ほとんど確実な意味で証明されており、収束に失敗するフィルタパラメータ値の集合がLebesgue測度ゼロであることを示している。
• 元の回帰ベクトルφ(t)が区間励起（IE）を満たす場合、DREMスカラ回帰ベクトルΔ_N(t)もIEを満たし、パラメータ推定値のグローバル収束が可能になる。
• IE下では、DREM推定器がパラメータ誤差の有限時間収束を達成する。これは古典的推定器に比べ顕著な改善である。
• 近年の非自律的非線形システムに対するルエンバーガー観測器フレームワークを適応することで、非自律的システムへの応用が拡張された。
• 技術的証明は、時変線形システムへの観測器理論の新規応用に基づき、DREM推定器が弱い励起条件下でもロバストであることを確立している。