[論文レビュー] Configuration spaces of C and CP^1: some analytic properties

Vladimir Lin|ArXiv.org|Mar 7, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、新規の単体的不変量を導入し、非巡回な自己準同型がちょうど「飼いならされた」もの、すなわち基本空間の自己同型によって誘導されるものであることを証明することにより、ℂおよびℂℙ¹の配置空間の正則自己準同型を完全に分類する。n > 4のとき、非巡回写像はその正則ホモトピー型によって特徴付けられ、次元の下界を満たす。一方、巡回写像はテイヒミュラー理論と普遍被覆を用いて、像の点が連結していることが示される。

ABSTRACT

We study holomorphic self-maps of non-ordered n-point configuration spaces C^n(X), where X is either affine or projective complex line. The complex Lie group Aut(X) acts diagonally on C^n(X). We prove that for n>4 every endomorphism F of C^n(X) either is tame meaning that it is of the form F(Q)=T(Q)Q for a certain morphism T of C^n(X) to Aut(X) or carries the whole C^n(X) into one Aut(X) orbit Aut(X)Q_0 in C^n(X). The first option happens if and only if the image of the induced endomorphism F_* of the fundamental group of C^n(X) (which is the braid group of X) is a non-cyclic group; otherwise F is of the second type. We also prove that for n>(dim(Aut(X))+1 a morphism F of C^n(X) to any C^k(X) always admits an n point subset Q of X whose intersection with its image F(Q) is non-empty. Finally, we give a complete description of unbranched k-coverings of C^n(x) for k<2n+1.

研究の動機と目的

• X = ℂおよびX = ℂℙ¹の順序付けられていない配置空間𝒞ⁿ(X)の正則自己準同型を、解析的および代数的不変量を用いて分類すること。
• 非巡回自己準同型をAut(X)作用によって誘導される「飼いならされた」写像として特徴づけ、巡回写像を軌道型の準同型として特徴づけること。
• 非巡回自己準同型とAut(X)の最大コンact部分群への連続写像の間の対応関係を確立し、位相的構造と正則構造を結びつけること。
• 非巡回自己準同型F: 𝒞ⁿ(X) → 𝒞ᵏ(X)の像の次元がn − t(X) + 1以上であることを示すこと。ここでt(X) = dimℂ Aut(X)である。
• 普遍代数的関数が一致する分岐点を持つ分解ができないことにより、ヒルベルトの13番目の問題のバージョンを解決すること。

提案手法

• 非定数正則写像Z → ℂ ≠ {0,1}の頂点からなる有限単体複体LΔ(Z)を導入し、等変自己準同型を研究する。
• m = n + 3 − t(X)を用いて、T(0,m)上の普遍テイヒミュラー族を用い、𝒞ⁿ(X)への正則普遍被覆写像Π: ˜Aut(X) × T(0,m) → 𝒞ⁿ(X)を構成する。
• ハバード＝アール＝クラの定理を適用し、dimℂ T(0,m) > 1のとき正則セクションが存在しないことを示し、これにより「連結写像定理」の証明に不可欠な根拠を得る。
• 純ぶらうど群PBₙ(X)の標準正規系列および交換子部分群の構造を用い、非巡回写像を順序付き配置空間上の等変写像へと持ち上げる。
• Bₙ(X)の標準的表示を定義し、これにより非巡回自己準同型が純ぶらうど群を保存することを証明し、𝒞ₒⁿ(X)への持ち上げを可能にする。
• Z ↦ LΔ(Z)の反変函子的対応を確立し、𝒞ₒⁿ(X)のAut(X)-等変自己準同型がLΔ(𝒞ₒⁿ(X))の単体的自己写像を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒞ⁿ(X)の正則自己準同型がいつ「飼いならされた」ものであるか。また、その飼いならしは、基本群への誘導写像の巡回性とどのように関係するか。
• RQ2 非巡回自己準同型F: 𝒞ⁿ(X) → 𝒞ᵏ(X)と、Aut(X)の最大コンパクト部分群への正則ホモトピー型の間の明確な関係は何か。
• RQ3 ぶらうど群Bₙ(X)の代数的性質は、非巡回自己準同型の構造をどのように制約するか。
• RQ4 非巡回自己準同型F: 𝒞ⁿ(X) → 𝒞ᵏ(X)の像の最小可能な複素次元は何か。
• RQ5 ℂℙⁿ上の普遍代数的関数Un(z)は、m変数代数的関数の合成に分解可能か。このとき、同じ分岐点を持つようにできるか。

主な発見

• n > 4およびk ≥ t(X)のとき、𝒞ⁿ(X)の自己準同型Fが飼いならされたものであることと、非巡回であることとは同値であり、完全な分類が得られた。
• 任意の非巡回自己準同型F: 𝒞ⁿ(X) → 𝒞ᵏ(X)は、dimℂ F(𝒞ⁿ(X)) ≥ n − t(X) + 1を満たし、等号が成立するのは特定の条件下でのみである。
• 非巡回自己準同型の正則ホモトピー型は、自然な1対1対応で、𝒞ⁿ(X) → 𝒦(X)への連続写像のホモトピー型に対応する。ここで𝒦(X)はAut(X)の最大コンパクト部分群である。
• n > t(X) + 1のとき、任意の非巡回準同型F: 𝒞ⁿ(X) → 𝒞ᵏ(X)は、あるQ ∈ 𝒞ⁿ(X)に対してQ ∩ F(Q) ≠ ∅を満たす。これは「連結写像定理」の証明である。
• m = n + 3 − t(X)を用いて、𝒞ⁿ(X)への正則普遍被覆写像Π: ˜Aut(X) × T(0,m) → 𝒞ⁿ(X)の構成は明示的であり、T(0,m)上の普遍テイヒミュラー族に依存する。
• ℂℙ¹上の3次形式空間のアイゼンシュタイン自己同型が、正則写像T: 𝒞³(ℂℙ¹) → PSL(2,ℂ)によって誘導される飼いならされた写像であることが示され、非退化形式上で双正則的かつ対合的であることが確認された。