[論文レビュー] Confluence of nearly orthogonal infinitary term rewriting systems

Łukasz Czajka|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Logic, programming, and type systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、帰納的証明と同様に信頼できる、実用的で集合論的な基礎をもつコイナスラプティブ証明とコリカーシブ定義の体系を提示する。形式的でないコイナスラプティブ推論—プログラミング言語理論や形式的検証分野で一般的に用いられるもの—が、超限帰納法へ体系的に還元できることを示す。基本的な集合論的構成を用いて、ガード付きおよびネストされたコイナスラプティブ証明を正当化し、形式的型理論的枠組みを必要とせず、このような証明が標準的なZFC的推論へ正式に除去可能であることを確立する。

ABSTRACT

We introduce two coinduction principles and two proof translations which, under certain conditions, map coinductive proofs that use our principles to guarded Coq proofs. The first principle provides an "operational" description of a proof by coinduction, which is easy to reason with informally. The second principle extends the first one to allow for direct proofs by coinduction of statements with existential quantifiers and multiple coinductive predicates in the conclusion. The principles automatically enforce the correct use of the coinductive hypothesis. We implemented the principles and the proof translations in a Coq plugin.

研究の動機と目的

• プログラミング言語理論や形式的検証分野で一般的に用いられる、形式的でないコイナスラプティブ証明スタイルの明確でアクセス可能な正当化を提供すること。
• コイナスラプティブ仮定を用いたコイナスラプティブ証明が、ZFC集合論における超限帰納法へ正式に還元可能であることを示すこと。
• 型理論的ガードやサイズ付き型に依存せずに、コリカーシブ定義の意味的で集合論的な解釈を提供すること。
• 固定点理論と単調性への直接還元を通じて、ネストされたおよび相互コイナスラプティブ証明を正当化すること。
• 帰納法と同様に、コイナスラプティブが信頼性と透明性を有することを示すために、標準的数学的推論へ正式に除去可能であることを示すこと。

提案手法

• 超限帰納法を用いて、コイナスラプティブ証明を順序数段階における整礎帰納法へ還元することで正当化する。
• coterms を N* からコンストラクタへの部分関数として定義し、型の一貫性を保つラベル付き木として無限項をモデル化する。
• 生産関数を用いて「ガード付き」コリカーシブ定義の概念を導入し、深さの減少を保証することで、定義の健全性を確保する。
• Knaster-Tarski の固定点定理を用いて、単調な F に対して最大固定点を νF = ⋃{X | X ⊆F(X)} として特徴付ける。
• Bekić の原則を用いて、相互コイナスラプティブ定義をネストされた最大固定点へ分解する。
• スコーレム化されたコイナスラプティブ文の式を、ガード付き再帰構造を持つコリカーシブ関数定義へ還元し、一意性と健全性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的でないコイナスラプティブ証明（コイナスラプティブ仮定を含む）は、集合論においてどのように正式に正当化できるか？
• RQ2 無限項上のコリカーシブ定義が健全かつ一意であるために必要な条件は何か？
• RQ3 ネストされたまたは相互コイナスラプティブ定義は、標準的な集合論的固定点構成へどのように還元できるか？
• RQ4 コイナスラプティブ推論は、どのような意味で超限帰納法へ除去可能か？
• RQ5 型理論的枠組みを用いず、コリカーシブ定義の正しさを保証するためのガードの役割は何か？

主な発見

• コイナスラプティブ仮定を用いたコイナスラプティブ証明は、超限帰納法へ体系的に還元可能であり、標準的ZFC集合論においてその正しさが明確に示される。
• 生産関数が深さを厳密に減少させる場合、コリカーシブ定義は一意な関数へ収束し、健全である。
• Bekić の原則を用いることで、相互コイナスラプティブ定義はネストされた最大固定点へ還元可能であり、一貫性と一意性が保証される。
• 本論文は、サイズ付き型や型理論的ガードに依存せず、coterms 上のガード付きコリカーシブ定義が関数を一意に定めることを示した。
• ネストされたコイナスラプティブ証明（例：二つの還元が共通の項へ収束することの証明）は、スコーレム化とガード付き構造を持つコリカーシブ関数の定義により形式的に定式化可能である。
• 本論文は、[28, 13, 35, 34, 33] のスタイルの形式的でないコイナスラプティブ証明が、帰納証明と同様に標準的数学的推論へ正式に除去可能であることを示した。