[論文レビュー] Conformal blocks, fusion rules and the Verlinde formula

Arnaud Beauville|ArXiv.org|May 5, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 126

ひとこと要約

本稿では、SU(n) に関連する WZW理論における conformal block 空間の次元に関する Verlinde 公式を、要因分解則、融合環形式的、およびアフィンリー代数の特徴理論を組み合わせることで、きめ細やかな導出を提供する。この導出は、束のモジュライ空間上の一般化されたシータ関数の構造に起因し、明示的な特徴計算と有限群のレベル ℓ 重みにおける直交性関係を用いる。

ABSTRACT

The Verlinde formula computes the dimension of certain vector spaces ("conformal blocks") associated to a Rational Conformal Field Theory. In this paper we show how this can be made rigorous for one particular such theory, the WZW model. Thanks to the results of [B-L], [F] and [T-U-Y], this gives the dimension of the space of global sections of the determinant line bundles (and its multiples) on the moduli space of vector bundles with fixed rank and determinant.

研究の動機と目的

• SU(n) に関連する WZW理論における conformal block の Verlinde 公式の自己完結的導出を提供すること。
• Verlinde 公式と G-束のモジュライ空間上の一般化されたシータ関数の幾何学的関係を明確にすること。
• 要因分解則と融合環構造から直接導出することで、文献における混乱を解消すること。
• 特徴理論とレベル-ℓ 重みの有限群における直交性関係に起因する Verlinde 公式の確立。

提案手法

• リーマン面 $C$ 上の G-束のモジュライ空間上の決定的バンドルの全体切断として、conformal block 空間 $V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$ を構成する。
• 要因分解則を符号化し、次元を特徴で計算するために、融合環 $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$ を導入する。
• Weyl 特徴公式と Weyl 群の性質を用いて、可約表現上の群要素のトレースを計算する。
• $L^2(T_\ell)$ における直交性関係を適用して、$\sum_{\lambda \in P_\ell} |\operatorname{Tr}_{V_\lambda}(t)|^2$ を評価し、Verlinde 公式に至る。
• $P / (\ell + h^\vee) Q_{lg} \cong T_\ell$ の同型を用いて、有限群 $T\_\ell$ のサイズをランク、接続指数、および格子の指数で表す。
• 正則性条件を満たす $t \in T^\mathrm{reg}_\ell$ に対して、$\Delta(t) = \prod_{\alpha > 0} (e^\alpha(t) - 1)$ の式を用いて最終的な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(n) 場合における conformal block の次元に関する Verlinde 公式は、要因分解則からどのように導出可能か？
• RQ2 conformal block と束のモジュライ空間上の一般化されたシータ関数の間の明確な関係は何か？
• RQ3 融合環 $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$ の特徴は、$V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$ の次元をどのように符号化するか？
• RQ4 有限群 $T_\ell$ は、conformal block の次元計算において果たす役割は何か？
• RQ5 Verlinde 公式は、レベル-ℓ 重みの有限群における特徴理論と直交性関係のみを用いて導出可能か？

主な発見

• Verlinde 公式 $\operatorname{dim} V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$ は、$|T_\ell|^{g-1} \sum_{t \in T^\mathrm{reg}_\ell} \frac{\operatorname{Tr}_{V_{\vec{\lambda}}}(t)}{\Delta(t)^{g-1}}$ として導出され、ここで $T_\ell$ はレベル-ℓ 重みの有限群である。
• $T_\ell$ のサイズは $|T_\ell| = (\ell + h^\vee)^r f q$ で与えられ、$r$ はランク、$f$ は接続指数、$q$ は $Q_{lg}$ と $Q$ 間の指数である。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ または $\mathfrak{sp}(n,\mathbb{C})$ の場合、$\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$ の特徴は明示的に決定され、公式の計算が可能になる。
• $\sum_{\lambda \in P_\ell} |\operatorname{Tr}_{V_\lambda}(t)|^2$ は $L^2(T_\ell)$ における直交性を用いて評価され、$|T_\ell| / \Delta(t)$ を得る。
• 恒等式 $\Delta(t) = \prod_{\alpha > 0} |2 \sin(\pi (\alpha | \mu + \rho)/(\ell + h^\vee))|^{2-2g}$ を用いて、$t = \exp(2\pi i (\mu + \rho)/(\ell + h^\vee))$ の場合に、公式が標準的 Verlinde 公式と同値であることが示される。
• 導出は $\mathfrak{g}$ が A、B、C、D、または $G_2$ 型であり、$\mathfrak{g}$ が単純かつ $\ell$ が正の整数であるという仮定に依存する。