[論文レビュー] Conformal boundary loop models

Jesper Lykke Jacobsen, Hubert Saleur|Nov 27, 2006

Numerical methods for differential equations被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ホモトピーと境界接触に基づき、4つのループ重みを持つアニュラス上の conformal boundary loop モデルを提案する。バブル代数を用いて正確な conformal boundary 条件とスケーリング次元を確立し、分割関数とバーミンスロのキャラクターの間の正確な有限サイズの恒等式を導出し、RSOS モデルおよび根の単位における $O(n)$ モデルとの関連を特定する。臨界指数は $h_{r,r\pm L}$ で与えられる。

ABSTRACT

We study a model of densely packed self-avoiding loops on the annulus, related to the Temperley Lieb algebra with an extra idempotent boundary generator. Four different weights are given to the loops, depending on their homotopy class and whether they touch the outer rim of the annulus. When the weight of a contractible bulk loop x = q + 1/q satisfies -2 < x <= 2, this model is conformally invariant for any real weight of the remaining three parameters. We classify the conformal boundary conditions and give exact expressions for the corresponding boundary scaling dimensions. The amplitudes with which the sectors with any prescribed number and types of non contractible loops appear in the full partition function Z are computed rigorously. Based on this, we write a number of identities involving Z which hold true for any finite size. When the weight of a contractible boundary loop y takes certain discrete values, y_r = [r+1]_q / [r]_q with r integer, other identities involving the standard characters K_{r,s} of the Virasoro algebra are established. The connection with Dirichlet and Neumann boundary conditions in the O(n) model is discussed in detail, and new scaling dimensions are derived. When q is a root of unity and y = y_r, exact connections with the A_m type RSOS model are made. These involve precise relations between the spectra of the loop and RSOS model transfer matrices, valid in finite size. Finally, the results where y=y_r are related to the theory of Temperley Lieb cabling.

研究の動機と目的

• アニュラス上の密度の高いループモデルにおける、バッチルールおよび境界ループ重みを有するすべての conformal boundary 条件を分類すること。
• 有限サイズにおける境界スケーリング次元および分割関数の正確な表現を導出すること。
• $y = y_r$ のとき、ループモデルの分割関数とバーミンスロのキャラクター $K_{r,s}$ の間の恒等式を確立すること。
• $q$ が根の単位であり $y = y_r$ のとき、転送行列のスペクトルを介してループモデルと $A_m$ 型 RSOS モデルを結びつけること。
• ループモデルの境界条件と $O(n)$ モデルにおけるディリクレ／ノイマン条件との関係を明確にすること。

提案手法

• アニュラスの外縁とのループ相互作用をモデル化するため、追加のイデムポテン境界生成子を有するバブル代数フレームワークを用いる。
• $x = q + q^{-1} \in (-2,2]$ および $y = \frac{[r+1]_q}{[r]_q}$ （離散的 $r$）を用いてループ重みをパrametrize し、 conformal 不変性を保証する。
• 転送行列技術と厳密な組合計数技法を用いて、分割関数内の固有値セクターの振幅を計算する。
• 生成関数およびカタランに類似した組合計を用いて、バブル付きおよびバブルなしのストリング／アークを制限した状態の数え上げ問題を解く。
• 係数 $D_k^{(j)}$ を用いて分割関数 $Z$ をバーミンスロのキャラクター $K_{r,s}$ の和として表現することにより、正確な有限サイズの恒等式を導出する。
• $q$ が根の単位であり $y = y_r$ のとき、ループモデルと RSOS モデルの転送行列間にスペクトル同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界ループ重みを有するアニュラス上の密度の高いループモデルにおける、すべての conformal boundary 条件は何か？
• RQ2 境界スケーリング次元 $h_{r,r\pm L}$ は、どのようにしてループモデルのスペクトルから生じるか？
• RQ3 有限サイズにおいて、全分割関数 $Z$ とバーミンスロのキャラクター $K_{r,s}$ の間の恒等式は何か？
• RQ4 $q$ が根の単位であり $y = y_r$ のとき、ループモデルは $A_m$ 型 RSOS モデルとどのように関連するか？
• RQ5 ループモデルの境界条件と $O(n)$ モデルにおけるディリクレ／ノイマン条件との正確な対応関係は何か？

主な発見

• $x = q + q^{-1} \in (-2,2]$ のとき、任意の実数 $y$, $l$, $m$ に対してモデルは conformal 不変であり、中心電荷は (2.7) で与えられる。
• 各 $L$ に対して、2種類の異なる conformal boundary 条件（バブル付きおよびバブルなし）が特定され、臨界指数 $h_{r,r\pm L}$ は (2.8) から導出される。
• 係数 $E_j^{(k)} = \binom{2j}{j-k}$ および $E_{j*}^{(k)} = \binom{2j-1}{j-k-1}$ を用いて、$Z$ とバーミンスロのキャラクター $K_k$, $K_k^*$ の間の正確な有限サイズの恒等式が確立される。
• $y = y_r = \frac{[r+1]_q}{[r]_q}$ で $r$ が整数のとき、分割関数 $Z$ は (3.18) のように $K_{r,s}$ キャラクターの和に分解される。
• $q$ が根の単位であり $y = y_r$ のとき、ループモデルと $A_p$ RSOS モデルの転送行列間に正確なスペクトル同等性が得られ、有限サイズでも成立する。
• $Z$ 内の非可縮性ループセクターの振幅が厳密に計算され、正確なトレース分解および逆公式 (B.11) が可能になる。