[論文レビュー] Conformal Deformation to Scalar Flat Metrics with Constant Mean Curvature on the Boundary in Higher Dimensions

Szu-yu Sophie Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、高次元のコンpakトなリーマン多様体において、スカラー曲率がゼロで境界上で平均曲率が一定であるような共形計量の存在の十分条件を確立する。鋭いトレースソボレフ商を分析し、ウェイリータンスルとフラックス積分を用いた共形幾何学的技法を用いることで、境界がアンビリックであり、かつウェイリータンスルの微分の零点集合に属さない境界点が存在する、またはある種のフラックス積分が正である場合、ソボレフ商が単位球のそれよりも厳密に小さいことが示され、その結果、このような計量の存在が保証される。

ABSTRACT

In 1992, motivated by Riemann mapping theorem, Escobar considered a version of Yamabe problem on manifolds of dimension n greater than 2 with boundary. The problem consists in finding a conformal metric such that the scalar curvature is zero and the mean curvature is constant on the boundary. By using a local test function construction, we are able to seattle the most cases left by Escobar's and Marques's works. Moreover, we reduce the remaining case to the positive mass theorem. In this proof, we use the method developed in previous works by Brendle and by Brendle and the author.

研究の動機と目的

• 次元 $ n \geq 6 $ における境界上で平均曲率が一定であるスカラー曲率ゼロ計量への共形変換問題を解決すること。
• 境界がアンビリックであり、標準的不等式 $ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) < \mathcal{Q}(B^n,\partial B^n) $ が成立しない残りの未解決ケースに対処すること。
• ウェイリータンスルやフラックス積分といった幾何的不変量を用いて、ソボレフ商の厳密不等式を確立する新しい十分条件を構築すること。
• エスカボールとマルケスの結果を、高次元におけるアンビリック境界の臨界ケースを扱う形で拡張すること。

提案手法

• 関数 $ E_g(\phi) $ を分析し、これは鋭いトレースソボレフ商を表し、その臨界点を研究することで、スカラー曲率がゼロで平均曲率が一定である共形計量を見つける。
• ウェイリータンスルおよびその高階微分が $ d-2 $ 階までゼロとなる点の集合 $ \mathcal{Z} $ を導入し、曲率集中に関連する共形不変量を特徴付ける。
• 境界近傍の共形フェルミ座標を用い、半空間上のトレースソボレフ不等式の極値関数であるモデル関数 $ v_\epsilon $ を構成する。
• 線形化された偏微分方程式系を補正項 $ \psi $ に対して解き、その方程式は共形キリング作用素から導かれ、スカラー曲率および平均曲率の変形を制御する。
• 集合 $ \mathcal{Z} $ 内の境界点近傍でフラックス積分 $ \mathcal{I}(p,\delta) $ を定義し、$ \delta \to 0 $ の極限において、関連する漸近的に平坦な多様体のADM質量と関係づける。
• 楕円型正則性および重み付き $ L^2 $ 評価を適用して、ベクトル場および解の成長を制御し、漸近的解析の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 6 $ において、アンビリック境界をもつコンパクトなリーマン多様体について、ソボレフ商が $ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) < \mathcal{Q}(B^n,\partial B^n) $ を満たす幾何的条件は何か？
• RQ2 境界がアンビリックであり、ウェイリータンスルが境界上で恒等的にゼロでない場合、境界上で平均曲率が一定であるスカラー曲率ゼロ計量への共形変換は達成可能か？
• RQ3 点 $ p \in \mathcal{Z} $ の場合、フラックス積分 $ \mathcal{I}(p,\delta) $ はソボレフ商の厳密不等式を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 フラックス積分に関連するADM質量の正の性質が、所望の共形計量の存在に与える影響は何か？
• RQ5 トレースソボレフ埋め込みの非コンパクト性によりパライス＝スメイ条件が成立しない場合でも、変分的アプローチは救えるか？

主な発見

• 次元 $ n \geq 6 $ であり、境界 $ \partial M $ がアンビリックであり、かつ $ p \in \partial M \setminus \mathcal{Z} $ である点が存在する場合、$ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) < \mathcal{Q}(B^n,\partial B^n) $ が成り立ち、その結果、スカラー曲率がゼロで境界上で平均曲率が一定である共形計量の存在が保証される。
• 点 $ p \in \mathcal{Z} $ の場合、$ \lim_{\delta \to 0} \mathcal{I}(p,\delta) > 0 $ であれば、再び $ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) < \mathcal{Q}(B^n,\partial B^n) $ が成り立ち、所望の共形計量の存在が保証される。
• 鋭いトレースソボレフ商 $ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) $ は共形不変量であり、単位球 $ B^n $ での値によって上から有界であり、等号は特別な場合に限る。
• モデル関数 $ v_\epsilon $ と補正項 $ \psi $ の構成により、共形不変の方法でソボレフ不等式の鋭さをテストできるようになった。
• 重み付き $ L^2 $ 評価および楕円型正則性を用いて、線形化された曲率方程式の解の成長を制御し、漸近的解析の有効性を保証した。
• フラックス積分 $ \mathcal{I}(p,\delta) $ は、関連するスカラー曲率ゼロで漸近的に平坦な多様体のADM質量の正の定数倍に収束し、幾何解析と一般相対性理論の不変量を結びつける。