[論文レビュー] Conformal field theory on the plane

Sylvain Ribault|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 54

ひとこと要約

この包括的なレビューでは、平面における2次元 conformal field theory (CFT) に conformal bootstrap アプローチを適用し、CFT の背後にある数学的構造——Virasoro代数、conformal block、BPZ方程式、結合則——を体系的に展開する。Liouville理論におけるDOZZ公式やKZ-BPZ関係の確立といった重要な結果が導出され、自由ボソン、minimal model、Liouville理論、WZWモデルがブートストラップ枠組みによって統一される。

ABSTRACT

We review conformal field theory on the plane in the conformal bootstrap approach. We introduce the main ideas of the bootstrap approach to quantum field theory, and how they apply to two-dimensional theories with local conformal symmetry. We describe the mathematical structures that appear in such theories, from the Virasoro algebra and its representations, to BPZ equations and conformal blocks. Examples include Liouville theory, (generalized) minimal models, free bosonic theories, the $H_3^+$ model, and the $SU_2$ and $\widetilde{SL}_2(\mathbb{R})$ WZW models. We also discuss relations between some of these models, and limits of these models when the central charge and/or conformal dimensions tend to particular values.

研究の動機と目的

• ブートストラップ・アプローチを用いて、ラグランジアンに依存せずに、平面における conformal field theory について自己完結的で教育的な導入を提供すること。
• Liouville理論、minimal model、自由ボソン、H+3モデル、WZWモデルといった多様なCFTを、共通の数学的枠組みで統一すること。
• DOZZ三粒子関数、KZ-BPZ対応、退化場および零ベクトルの役割といった重要な結果を導出し、説明すること。
• 相関関数の解析的構造を明確にし、中心電荷および conformal 次元が一貫性とユニタリティを決定する役割を明らかにすること。
• モデル間の極限や双対性を探索し、Liouville理論とminimal modelの関係、およびH+3モデルの高レベル極限を含むこと。

提案手法

• conformal bootstrap アプローチを採用し、主に conformal 時空対称性および affine 時空対称性に基づいて、ラグランジアンに依存しないCFTの構成を行う。
• Virasoro代数の表現論を発展させ、Vermaモジュール、退化表現、ユニタリティ条件を含む。
• conformal 時空対称性からWard恒等式および演算子積展開（OPE）を導出し、退化場に対してBPZ微分方程式が得られることを示す。
• conformal blockをBPZ方程式の解として導入し、四粒子関数における交差対称性を満たすようにする。
• Knizhnik–Zamolodchikov (KZ) 方程式がWZW理論で、Liouville理論でBPZ方程式が得られることを関係づけることで、KZ-BPZ関係を確立する。
• Wakimotoの自由場表現を用いて、affine 保存電流代数の明示的実現を構成し、Sugawara構成によるVirasoro代数の導出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジアンに依存せず、対称性と整合性条件のみを用いて、平面における conformal field theories をどのように一貫して構成できるか？
• RQ2 conformal blockの明確な数学的構造は何か？ そして四粒子関数における交差対称性をどのように符号化するか？
• RQ3 退化場およびその零ベクトルは、微分方程式（BPZ方程式）と結合則とどのように関係しているか？
• RQ4 H+3モデル、Liouville理論、WZW理論の間の関係は何か？ 特に高レベル極限または特定の中心電荷における関係を明らかにすること。
• RQ5 KZ-BPZ対応とは、WZW理論におけるKnizhnik–Zamolodchikov方程式とLiouville理論におけるBPZ方程式とをどのように関連付けるか？

主な発見

• Liouville理論における三粒子関数のDOZZ公式が、ブートストラップ方程式の解として導出され、中心電荷および conformal 次元に明示的な依存関係を持つ。
• KZ-BPZ関係が厳密に確立され、bsl2 WZW理論におけるKZ方程式の解が、Liouville理論におけるBPZ方程式の解と一致することが示された。
• minimal modelおよびLiouville理論における退化場が、2階線形微分方程式（BPZ方程式）を満たし、その解が超幾何関数として与えられることを示した。
• H+3モデルが非ユニタリであることが示され、すべての複素パラメータに対して1レベルの後続状態のノルムの平方が正定値でないことが判明した。
• H+3モデルのスピンは連続的から退化値へ解析接続され、bsl2 WZW理論と整合する結合則が得られた。
• SU(2)およびfSL2(R) WZW理論がレベルkの解析接続によって関係づけられ、それらの結合則が同じブートストラップ枠組みから導かれることが示された。