[論文レビュー] Conformal invariance of lattice models

Hugo Duminil‐Copin, Stanislav Smirnov|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 83被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、離散的正則関数とフェルミオン的観測量を用いて、臨界的平面的イジング模型およびFK-イジング模型の共形不変性を確立する。これらのモデルにおける界面は、スケーリング極限においてそれぞれchordal SLE(3)およびSLE(16/3)に収束することが証明され、等角的グラフ上の離散的複素解析を通じて格子模型と共形不変なSLE過程との間の厳密な接続が得られる。

ABSTRACT

These lecture notes provide a (almost) self-contained account on conformal invariance of the planar critical Ising and FK-Ising models. They present the theory of discrete holomorphic functions and its applications to planar statistical physics (more precisely to the convergence of fermionic observables). Convergence to SLE is discussed briefly. Many open questions are included.

研究の動機と目的

• 臨界的平面的イジング模型およびFK-イジング模型の共形不変性を離散的複素解析を用いて確立すること。
• スケーリング極限における界面のchordal SLE(3)およびSLE(16/3)への収束を示すこと。
• 統計力学的模型に適した等角的グラフ上の離散的正則関数（s-正則関数）の枠組みを構築すること。
• 普遍性、完全なスケーリング極限、および関連模型における離散的観測量に関する未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• 本稿は、等角的グラフ上における正則関数の離散的類似物としてs-正則関数を導入し、フェルミオン的観測量の構築を可能にする。
• スピンに依存する位相因子を有する中点格子上でのパラフェルミオン的観測量を定義し、コーシー＝リーマン方程式の離散的版を満たす。
• 緊密性および部分列極限の議論を用いてフェルミオン的観測量の収束を分析し、ロエヴナー鎖表現に至る。
• 円パッキングを用いて一般の等角的グラフ上でモデルを研究することで、スケーリング極限における共形不変性を可能にする。
• エドワーズ＝ソカラのカップリングを用いてFK-イジング模型をクラスタ重みqに依存するループ模型に関連付ける。
• 重みおよびスピンパラメータのための連立一次方程式を解き、O(n)模型のヘキサゴナル格子上での非自明なスケーリング極限を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的FK-イジング模型の界面は、スケーリング極限においてchordal SLE(16/3)に収束するか？
• RQ2 スピンおよびFK-イジング模型が、離散的正則観測量を用いて共形不変なスケーリング極限を持つことを示せるか？
• RQ3 一般のループ模型が等角的グラフ上で定義される場合、重みおよびスピンパラメータにどのような条件が非自明なスケーリング極限をもたらすか？
• RQ4 ヘキサゴナル格子上におけるO(n)模型のスケーリング極限は、結合定数2η/πのクーロンガスによって記述されるか？
• RQ5 η ∈ [−π, 0] である特定のモデルは、非自明な観測量を持つにもかかわらず、なぜSLE型のスケーリング極限を持たないのか？

主な発見

• 臨界的FK-イジング模型の界面は、スケーリング極限においてchordal SLE(16/3)に収束し、共形場理論の主要な予測を確認する。
• スピンイジング模型の界面はchordal SLE(3)に収束し、離散的観測量を介したイジング模型とSLEとの間の最初の厳密な接続を確立する。
• スピンがσ = 3η/(2π) − 1/2であるとき、離散的コーシー＝リーマン方程式に対して非自明な解が存在し、ηは−n/2 = cos(2η)を満たす。これによりクーロンガスのスケーリング極限が得られる。
• ヘキサゴナル格子上におけるO(n)模型では、η ∈ [0, π] のときスケーリング極限が結合定数2η/πのクーロンガスによって記述される。
• η ∈ [−π, 0] のとき、スケーリング極限はSLEによって記述できないため、非SLE型のスケーリング極限を持つモデルのクラスが存在することが示される。
• FK-イジング模型のフェルミオン的観測量は、ロエヴナー方程式を満たす極限に収束するため、界面のSLE(16/3)への収束が確認される。