[論文レビュー] Conformal metric sequences with integral-bounded scalar curvature

Yuxiang Li, Zhipeng Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpactリーマン多様体上の等角計量列に対して、$L^p$ 空間（$p > n/2$）におけるスカラー曲率の積分的バインドが与えられた下で、バブルツリー収束を確立する。三つの円の定理とジョン＝ニレングラの不等式を組み合わせることで、発散行動が制御可能であることを示し、特異点集合が整然とした構造を持つグロモフ＝ハウスドルフ極限を導き、二つの端を持つ任意の極限多様体が $
mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ または二点を除いた $S^n$ に等角的であることを示す。これは体積成長制約のもとで矛盾を引き起こす。

ABSTRACT

Let $(M; g)$ be a smooth compact Riemiannian manifold without boundary and $g_{k}$ be a metric conformal to $g$. Suppose $vol(M; g_{k})+||R_{k}||_{L^{p}(M;g_{k})} < C$, where $R_{k}$ is the scalar curvature and $p > \frac{n}{2}$. We will use the 3-circle theorem and the John-Nirenberg inequality to study the bubble tree convergence of $g_{k}$.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の等角計量列に対して、$p > n/2$ の下でスカラー曲率の $L^p$-バインドが与えられた場合のコンパクトネスと収束を確立すること。
• 内接半径の下界が存在しない状況下で、等角類に注目することにより、発散行動を解析すること。
• 三つの円の定理と $\epsilon$-正則性を用いて、特異点におけるバブルツリー極限構造を構築すること。
• 二つの端を持つ任意の極限多様体が、$
  mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ または二点を除いた $S^n$ に等角的であることを示し、体積成長制約のもとで矛盾を導くこと。

提案手法

• 特異点近傍の円環領域を解析するために三つの円の定理を用い、それらが $S^{n-1} \times [-\log \delta, -\log r]$ にほぼ等角的であることを示す。
• $\epsilon$-正則性を適用して発散を制御する：球の体積が小さい場合、$u_k$ はより小さい球上で $W^{2,p}$ に有界である。
• ジョン＝ニレングラの不等式を用いて $u_k$ の変動を制御し、発散解析における一様推定を得る。
• 繰り返しスケーリングを集中点の周りで行い、$
  mathbb{R}^n$ や $
  mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ における調和極限を同定することでバブルツリーを構築する。
• スカラー曲率と等角因子を関連付けるための等角変換方程式 $-\Delta_g u + c(n) R(g) u = c(n) R(g_k) u^{\frac{n+2}{n-2}}$ を用いる。
• 分割定理を用いて極限計量を解析し、二つの端を持つ極限が $N \times \mathbb{R}$ に等長的であることを示し、位相的制約により $k=1$ であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内接半径の制御がない状況下で、$L^p$-スカラー曲率バインドのみを仮定した場合に、等角計量列に対してバブルツリー収束構造を確立できるか。
• RQ2 発散が固定された等角類内で発生する場合、極限空間の正確な漸近的構造は何か。
• RQ3 与えられた曲率および体積制約のもとで、二つの端を持つ極限多様体の存在を排除できるか。
• RQ4 三つの円の定理は、発散プロセスにおける特異点近傍の円環領域の解析をどのように精緻にするか。
• RQ5 極限計量がリッチ平坦で二つの端を持つ場合、その意味は何か。そして、それが体積成長とどのように矛盾するか。

主な発見

• 体積が 1 で、$\|R(g_k)\|_{L^p} < \Lambda$ を満たす $\mathrm{vol}(M,g_k)=1$ および $p > n/2$ を満たす $g_k = u_k^{\frac{4}{n-2}}g$ の列は、有限個の特異点においてバブルツリー極限構造を有する。
• 三つの円の定理により、円環領域 $B_\delta(p) \setminus B_r(p)$ は、$r, \delta$ が十分に小さいとき、$S^{n-1} \times [-\log \delta, -\log r]$ にほぼ等角的であり、等角因子は $-\Delta v + \frac{(n-2)^2}{4}v = 0$ に近い線形化方程式を満たす。
• 二つの端を持つ極限多様体は、二点を除いた $S^n$ に微分同相的、または $
  mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ に等角的である。両方の状況において、体積成長が期待される $O(1/t)$ スケーリングと矛盾する。
• 極限計量における半径 $c_4/t$ の球の体積は、少なくとも $c_1 t^{-n}$ の割合で増加するが、これは二つの端を持つ構造から得られる $O(1/t)$ の成長と矛盾する。
• グロモフ＝ハウスドルフ極限が滑らかな多様体でない場合、$u_0 \neq 0$ であるか、少なくとも一点に二つのバブルが存在するか、または正の濃縮質量を持つ少なくとも二つの特異点が存在する。
• 極限計量 $g_\infty$ はリッチ平坦であり、$N \times \mathbb{R}$ に等長的で $k=1$ である。これは $M_\infty$ が二点を除いた $S^n$ または $
  mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ に微分同相的であることを示し、両者とも体積成長の矛盾を引き起こす。